Bài tập ôn tập Hình học Lớp 11 - Phép vị tự (Có đáp án)

 CÁC DẠNG BÀI TẬP CỦA PHÉP VỊ TỰ.
Dạng 1: Câu hỏi lý thuyết-vẽ ảnh và tạo ảnh qua phép vị tự.
Bài 1. Cho đoạn thẳng AB có trung điểm là I. 
 1
a) Tìm ảnh của điểm qua phép vị tự tâm tỉ số k 
 2
b)Tìm ảnh của điểm B qua phép vị tự tâm I tỉ số k 1 
c) Tìm ảnh của điểm A qua phép vị tự tâm B tỉ số k 2 
 Lời giải
  1  
a) Ta có: AI AB nên I V 1 (B) 
 ( A; )
 2 2
   
b) Ta có: IA IB nên A V 1 (B) 
 (I; )
 2
   
c) Ta gọi C là điểm thỏa:C V(B; 2) (A) nên ta có: BC 2BA . Điểm C được xác định như hình trên
Bài 2. Cho tam giác ABC có M , N, P lần lượt là trung điểm của AB,AC,BC , G là trọng tâm của tam 
giác
a) Tìm ảnh của tam giác AMN qua V( A;2)
b) Tìm ảnh của tam giác ABC qua V 1
 (G; )
 2
c) Tìm điểm E sao cho C V( A; 2) (E)
d) Tìm điểm D sao cho C V(B;2) (D)
 Lời giải A V( A;2) (A)
a) ta có: B V( A;2) (M) ABC V( A;2) ( AMN) 
 C V( A;2) (N)
 P V 1 (A)
 (G; )
 2
b) ta có: N V 1 (B) PNM V 1 ( ABC) 
 (G; ) (G; )
 2 2
 M V 1 (C)
 (G; )
 2
    1  
c)C V (E) AC 2AE AE AC nên E là điểm đối xứng với N qua A 
 ( A; 2) 2
    1  
d) C V (D) BC 2BD BD BC nên D trùng với điểm P 
 (B;2) 2
Dạng 2: Tọa độ ảnh, tạo ảnh của điểm qua phép vị tự.
 PHƯƠNG PHÁP
 Sử dụng định nghĩa phép vị tự.
 Đưa định nghĩa về dạng tọa độ.
 Giải hệ phương trình và kết luận.
Ví dụ 1. Tìm ảnh A' của điểm A 3;4 qua phép vị tự tâm I 2;5 ,k 2 
 Lời giải
Ta có V I ;2 : A A'
 x ' 2.3 1 2 .2=4 
 A' 4;3 
 y ' 2.4 1 2 .5 3
Ví dụ 2. Cho I 2;1 ,M 1;1 ,M' 1;1 , phép vị tâm I biến điểm M thành M' có hệ số k bằng bao 
 nhiêu?
 Lời giải     
Ta có IM 3;0 , IM ' 1;0 ; IM ' 3.IM k 3 . 
Ví dụ 3. Cho M 3;5 ,M' 4;6 . Tìm tâm I phép vị biến điểm M thành M' có hệ số k 2 .
 Lời giải
Ta có V I ;2 : M M '
 4 3 .2 1 2 .a a 10
 I 10;4 
 6 5.2 1 2 .b b 4
Dạng 3: Phương trình ảnh, tạo ảnh của đường thẳng qua phép vị tự
 PHƯƠNG PHÁP
Để tìm ảnh, tạo ảnh d ' của đường thẳng d qua phép vị tự, ta thường sử dụng một trong ba cách sau
   
+ Cách 1: d ' song song hoặc trùng với d suy ra nd ' nd 
 Chọn M d. Gọi M ' là ảnh của M qua phép vị tự M ' d ' 
 Tìm tọa độ M ' rồi viết phương trình đường thẳng d '
+ Cách 2: Chọn M d. Gọi M ' là ảnh của M qua phép vị tự M ' d '
 Chọn N d. Gọi N ' là ảnh của N qua phép vị tự N ' d '
 Tìm tọa độ M ' , N ' rồi viết phương trình đường thẳng d ' đi qua 2 điểm M ' và N '
+ Cách 3: Gọi M x; y d.
 Gọi M ' x '; y ' là ảnh của M qua phép vị tự.
 Tính x; y theo x '; y ' rồi thay vào phương trình d , suy ra phương trình d '
Bài 1. Cho d : x 2y 1 0. Tìm ảnh d' của d qua phép vị tự tâm I 2;1 có hệ số k 2.
 Lời giải
   
Ta có V I ;2 : d d ' d / /d ' (v`i I d) nd ' nd 1; 2 .
Chọn M 1;1 d V I ;2 : M M ' d ' 
   x ' 2 2(1 2) x ' 0
 IM ' 2IM M ' 0;1 
 y ' 1 2(1 1) y ' 1
Phương trình đường thẳng d ': x 2 y 1 0 x 2y 2 0 . Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d :5x 2y 7 0 . Tìm ảnh d của d qua phép vị 
tự tâm O tỉ số k 2 .
 Lời giải
Chọn M 1;1 d. Gọi M ' là ảnh của M qua V O, 2 M ' d '. 
   
Khi đó OM ' 2OM M ' 2; 2 . 
Chọn N 3; 4 d. Gọi N ' là ảnh của N qua V O, 2 N ' d '. 
   
Khi đó ON ' 2ON N ' 6;8 .
Phương trình đường thẳng d đi qua 2 điểm M ' và N ' là:5x 2y 14 0.
Dạng 4: Phương trình ảnh, tạo ảnh của đường tròn qua phép vị tự.
Bài 1. Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn C : x2 y2 2x 4y 1 0 . Viết phương trình đường tròn 
 1
 C là ảnh của đường tròn C qua phép vị tự tâm O , tỷ số k .
 2
 Lời giải
Đường tròn C : x2 y2 2x 4y 1 0 có tâm I 1; 2 , bán kính R 2 .
 1
Vì đường tròn C là ảnh của đường tròn C qua phép vị tự tâm O , tỷ số k nên C có bán kín
 2
 1
 R | k |.R .2 1.
 2
  1  1
Giả sử V 1 I I OI OI I ;1 .
 O , 2 2
 2 
 1 
Vậy đường tròn C có tâm I ;1 , bán kính R 1.
 2 
 2
 1 2
Suy ra phương trình C : x y 1 1.
 2 
Bài 2. Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn (C) có phương trình x 2 + y2 + 6x - 10y + 32 = 0 Viết 
phương trình đường tròn C là ảnh của đường tròn C qua phép vị tự tâm J(0;1) tỉ số k = 3.
 Lời giải
Đường tròn (C) có tâm I (- 3;5) và bán kính R = 2 .
Gọi (C’) là ảnh của (C) qua phép vị tự tâm J(0;1) tỉ số k = 3.
Khi đó, (C’) có bán kính R ' = 3R = 3 2 và có tâm I '(x;y).
 uur uur ì
 ï x = - 9
Do đó, JI ' = 3JI Û x;y - 1 = 3 - 3;4 Û í .
 ( ) ( ) ï y = 13
 îï Vậy phương trình đường tròn (C’’): (x 9)2 ( y 13)2 18.
Dạng 5: Xác định phép vị tự.
Bài 1. Cho tam giác ABC , có A , B ,C lần lượt là trung điểm của BC, AC, AB . Xác định phép 
vị tự biến tam giác ABC thành tam giác A B C .
 Lời giải
 A
 C' B'
 G
 B A' C
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Khi đó G cũng là trọng tâm tam giác A B C .
  1   1   1  
Ta có GA GA,GB GB,GC GC , hay V 1 A A ,V 1 B B ,V 1 C C .
 2 2 2 G, G, G, 
 2 2 2 
Do đó Phép vị tự V 1 biến tam giác ABC thành tam giác A B C .
 G, 
 2 
Bài 2. Cho hai đường tròn O; R và O ; R ( O không trùng với O ). Xác định phép vị tự 
biến đường tròn O; R thành đường tròn O ; R .
 Lời giải
 O
 I O'
 R R
   
Gọi I là trung điểm OO , Ta có IO IO , hay V I, 1 O O .
Lại có hai đường tròn đã cho có cùng bán kính. Do đó Phép vị tựV I, 1 biến đường tròn O; R 
thành đường tròn O ; R .
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M, N lần lượt thành hai điểm M và N thì
     
 A. M N kMN. và M N kMN. B. M N kMN.và M N k MN.
     1
 C. M N k MN và M N kMN. D. M N / /MN.và M N MN.
 2
 Lời giải
 Chọn B 
 Theo định lý 1 về tính chất của phép vị tự.
Câu 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A 1; 2 , B 3; 4 và I 1;1 . Phép vị tự tâm I tỉ số 
 1
k biến điểm A thành A , biến điểm B thành B . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
 3
  4 2  
 A. A B AB .B. A B ; .C. A B 2 5 .D. A B 4; 2 .
 3 3 
 Lời giải
 Chọn B 
 Ta có AB 4; 2 .
  1  4 2 
 Từ giả thiết, ta có A B AB ; .
 3 3 3 
Câu 3. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy . Cho hai điểm M 4;6 và M 3;5 .Phép vị tự tâm 
 1
 I tỉ số k biến điểm M thành M . Khi đó tọa độ điểm I là
 2
 A. I 4;10 . B. I 11;1 . C. I 1;11 . D. I 10;4 .
 Lời giải
 Chọn D
 1
 3 .4
 a 2
 x kx 1
 a 1 
 x kx 1 k a 1 k 2 a 10
 Tọa độ điểm I là: .
 y ky 1 k b y ky 1 b 4
 b 5 .6 
 1 k b 2
 1
 1 
 2
Câu 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : 2x y 4 0, I 1;2 . Tìm ảnh d của d 
qua phép vị tự tâm I tỉ số k 2
 A. 2x y 4 0 . B. 2x y 8 0 .
 1
 C. 2x y 8 0.D. x y 2 0.
 2
 Lời giải
 Chọn C 
 V I , 2 d d d / /d nên d có dạng 2x y c 0
 x 5
 Chọn M 2;0 d V I ; 2 M M x; y d thế vào d :10 2 c 0 c 8
 y ' 2 Vậy d : 2x y 8 0 .
Câu 5. Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn C : x2 y2 2x 4y 4 0 . Viết phương trình đường 
 tròn C là ảnh của đường tròn C qua phép vị tự tâm O , tỷ số k 1.
 A. x 1 2 y 2 2 9. B. x 1 2 y 2 2 3.
 C. x 1 2 y 2 2 9. D. x 1 2 y 2 2 3.
 Lời giải
 Chọn A
 Đường tròn C : x2 y2 2x 4y 4 0 có tâm I 1; 2 , bán kính R 3.
 Vì đường tròn C là ảnh của đường tròn C qua phép vị tự tâm O , tỷ số k 1nên C có 
 bán kính R | k |.R 1.3 3.
   
 Giả sử V O; 1 I I OI OI I 1;2 .
 Vậy đường tròn C có tâm I 1;2 , bán kính R 3 .
 Suy ra phương trình C : x 1 2 y 2 2 9.