Bài tập ôn tập môn Toán Lớp 11 - Chương: Giới hạn - Năm học 2019-2020 - Trường TH, THCS&THPT Sao Việt

 1 
 BÀI TẬP CHƯƠNG GIỚI HẠN 
 A/ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 
I. Dãy số có giới hạn 0 
Bài 1: Cho hai dãy số (un) và (vn). Chứng minh rằng nếu |un| vn và limvn=0 thì limun=0. 
Vận dụng: Chứng minh rằng các dãy số sau đây có giới hạn 0: 
 n
 sin n 1 1 sin n cosn 1 cosn2 n sin 2n
1) ;2) ; 3);4) ; 5) ; 6) ;7) ;
 nn5 n!n5 n n 1 2n+1 nn2 
 nn 
 n nn2 n cos sin
 51 1 sin n cosn 1 
8) ; 9) ; 10) ; 11)55 ; 12)u (0,99)n ; 13) u .
 3n 123 n 2 n 1 3 n 1 n n n nn (0,01) n
 1 1 1 1 3 2n 1
Bài 2: Chứng minh rằng : a)lim ... ; b)lim . ... 0. 
 n3 1 n 3 2 n 3 n 2 4 2n
II. Dãy số có giới hạn hữu hạn 
Bài 1: Tìm các giới hạn sau: 
 2n n 1 2n2 1 n 2 n 2 2n 3
1) lim ; 2)lim ; 3)lim ; 4)lim ; 5)lim . 
 2n 1 2n 1 n2 1 2 3n 2 2(n 1) 2
Bài 2: Tính các giới hạn sau 
 3n5n42 63nn 2 2n4n3n7 3 2 2n6n9 5 
1)lim ; 2)lim ; 3)lim ; 4)lim ;
 2n 2 3n5 2 n7n5 3 13n 5
 2n3 1 5n 2 n 3 3n 2 n 2 n 3 2n 2 n 2
5)lim 2 ; 6)lim 2 ; 7)lim 3 ; 8)lim 4 ;
 2n 3 5n 1 n 1 3n 1 n 3n 3n 5
 n32 n sin n 1 14n9n 2 2nn4 2 n2n3 4 
9)lim42 ; 10)lim ; 11)lim ; 12)lim2 ;
 2n n 7 1 2n2n42 n 1 2n 3
 2n12 n3n3 6 2 4n1 nn1 
13)lim ; 14)lim ; 15) lim ; 16)lim ; 
 13n 2 2nn2 6 5 n1 3n2 2 
 (2n1)(n2) 5n22 5n1 (n n)(2n1) 2nn1 
17)lim ; 18)lim ; 19)lim ; 20)lim ;
 2n2 3n 1 (5n 2)(n 4) n 3 3n 1 n 2 n 3
 2n3n53 1nn1 3 3 2 3nnn2 2 n34n1 2 2 
21)lim22 22)lim ; 23)lim ; 24)lim .
 7n6n9 2n3 nn1 3 27n3 n 3
Bài 3: Tính các giới hạn sau: 
 1 2 ... n 2 4 ... 2n n3
1)lim2 ; 2)lim n ; 3)lim 2 2 2 2 ;
 n 1 n 2 1 2 3 ... n
 1 2 3 4 5 ... 2n 12 2 2 3 2 ... n 2 2 4 6 ... 2n
4)lim ; 5)lim ; 6)lim ;
 n22 1 4n 1 n2 n n 2 1 3 5 ... 2n 1 
 1 1 1 1 1 1 (n 3)!
7)lim ... ; 8)lim ... ; 9)lim ; 
 1.2 2.3 n n 1 1.2.3 2.3.4 n(n 1)(n 2) 2(n 1)! (n 2)!
 2131n13 3 3 11 1 111 
10)lim 3 . 3 ... 3 ; 11)lim 1 1 ... 1 ; 12)lim 1 2 1 2 ... 1 2 ;
 2131n1 36 n n 1 23n 
 2
 12 2 2 3 2 ... n 2 1 2 3 2 ... (2n 1) 2 1 1 1
13)lim ; 14)lim ; 15)lim 1 1 .... 1 .
 2 2 2 2 2 2 2
 2 4 ... (2n) 2 4 ... (2n) 4 9 n1 
Bài 4: Tính các giới hạn sau: 2 
 n
 5 2n 1 7 n 2 7.2 n 4 n 5.2 n 3 n
1)lim ; 2)lim ; 3)lim ; 4)lim ;
 3n 3 7 n 2.3 n 4 n 2 n 1 3 n 1
 3n 4 n 1 a n b n 2 n 3 n 3.5 n 2.3 n
5)lim ; 6)lim a,b 0 ; 7)lim ; 8)lim ;
 22n 10.3 n 7 a n b n 2.3 n 5.2 n 5 n 5.3 n 
 7.5nn 2.7 7.3n 2.6 n ( 2) n 5 n 4.3 n 7 n 1
9)lim ; 10)lim ; 11)lim ; 12)lim ;
 5nn 5.7 5.3n 5.6 n 3 n 1 5 n 1 2.5 n 7 n
 (3)5 nn 234 2nn (3)5 n1n2 571 n1n2 
13)lim 14)lim ; 15)lim ; 16)lim .
 ( 3)n1n 5 1 2 nn1n1 3 4 3 n1n1 5 3 n1n1n 7 3.2
Bài 5: Tính các giới hạn sau: 
 3n2 1 n 2 1 2n 2 1 n 2 1
1)lim n2 n n ; 2)lim ; 3)lim ;
 n n 1
5)lim n n2 1 n 2 1 ; 6)lim( n 2 n n 2 1); 7)lim n 1( n 2 n); 
 1
7)lim ; 8)lim 33 n3 2n 2 n ; 9)lim n 2 n 3 n .
 n n 1 n 1 
III. Cấp số nhân lùi vô hạn 
Đối với cấp số nhân lùi vô hạn, chú ý các công thức sau: 
 u1
 1. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: S . 
 1 q
 n 1*
 2. Công thức của số hạng tổng quát: un u1 q,  n N . 
Vận dụng các công thức này và biến đổi chúng một cách khéo léo, linh hoạt để giải một số bài tập 
sau: 
 22
Bài 1: Tìm dạng khai triển của cấp số nhân lùi vô hạn (un), biết tổng của nó bằng và u2 2 . 
 21 
 2
Bài 2: Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn có tổng bằng 3 và công bội q . 
 3
Bài 3: Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân lùi vô hạn, biết rằng tổng của cấp số nhân đó là 12, 
 3
hiệu của số hạng đầu và số hạng thứ hai là và số hạng đầu là một số dương. 
 4
Bài4: Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng phân số: 
a)2,131313 ; b)34,121212 ; c)0,222 ; d)0,393939 ; e)0,27323232 
Bài 5: Tính các giới hạn sau 
 n1 
 2 3 n 1 1 1 1 
1)lim 1 0,9 0,9 0,9 ... 0,9 ; 2)lim 1 ... ;
 n1 
 3 9 27 3
 2n 1 3 5 2n 1 
3)lim sin sin ... sin , k ; 4)lim 2 3 ... n ; 
 2 2 2 2 2 
 1 a a2n ... a
5)lim a 1, b 1 .
 1 b b2n ... b
IV. Dãy số có giới hạn vô cực 3 
Bài 1: Tính các giới hạn sau 
1)lim 3n2 101n 51 ; 2)lim 2n 3 3n 5 ; 3)lim n 4 50n 11 ; 4)lim 5n 2 3n 7;
5)lim 2n3 n 2 2; 6)lim3 1 2n n 3 ; 7)lim3 7n 2 n 3 ; 8)lim 1,001 n ;
 3 5 4
 n 3n n n n 3n 2
9)lim 2 4.3n 1 ; 10)lim 2.3 n 4 n ; 11)lim ; 12)lim ; 
 2n 15 4n32 6n 9
 2n42 n 7 2n2 15n 113 n 6 7n 3 5n 8 2n 1 1 3n 
13)lim ; 14)lim ; 15)lim ; 16)lim ;
 3n 53n2 n 3 n 12 3 n 3 7n 2 5
 3n 11 2 n 1 3.5 n 3 1 101
17)lim ; 18)lim ; 19)lim ; 20)lim ;
 1 7.2n 3.2 n 7.4 n n 2 n 2 7.2 n 5 n
 B/ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 
I. Tính giới hạn của hàm số bằng định nghĩa 
Bài 1: Tính các giới hạn sau: 
 x2 3x 2 x 2 5x 4 x 2 3x 4 1
1) lim ; 2) lim ; 3) lim ; 4)lim ;
 x 1x 1 x 1 x2 3x 2 x 1 x 1 x 1 5x 
 3 
 x 1 x 1 3 2
5)lim2 ; 6) lim2 ; 7) lim ; 8) lim x x 1 .
 x 2 x2 x x 1 x 2x 1 x 
II. Các phương pháp tìm giới hạn của hàm số 
1-Tìm giới hạn dạng xác định 
Bài 2: Tính các giới hạn sau: 
 2
 2 x 1 xx 1
1) lim(xx2 2 1) 2) lim(xx 2 1) 3) lim 3 4x 4) lim ; 5) lim ; 
 x 1 x 1 x 3 x 1 21x x 1 23x5 
 1
 1 34
 1x x x2 x 3x 1
6) lim x 1 ; 7)lim ; 8)lim42 ; 9) lim x 4 ; 10)lim . 
 x 0 x 01 x 1x3 x 2
 x1 (2x1)(x3) 2x1 
 x
 0
2-Tìm giới hạn dạng của hàm phân thức đại số 
 0
Bài 3: Tính các giới hạn sau 
 x2 1 x 3 x 2 3x 2 x 4 1
1)lim ; 2)lim ; 3)lim ; 4)lim ;
 x 1x 1 x 3 x22 2x 15 x 2 x2 2 x 1 x 2x 3
 33
 x2 x 1 3 x 2 8 2 x h 2x3
5)lim ; 6)lim 3 ; 7)lim ; 8)lim ;
 x 1x1 x 1 1 x 1 x x 0 x h 0 h
 2x2 3x 1 x 3 x 2 2x 8 x3 4x 2 4x 3 8x 3 1
9)lim ; 10)lim ; 11)lim ; 12)lim ;
 3 2 2 221
 x 1x x x 1 x 2 x 3x 2x3 x 3xx 6x 5x 1
 2 4 
 2x4 5x 3 3x 2 x 1 x 2 5x 6 x 3 3x 2
13)lim ; 14)lim ; 15)lim ;
 x 13x4 8x 3 6x 2 1 x 3 x 2 8x 15 x 1 x 4 4x 3
 x3 3x 9x 2 1 x 1 2x 1 3x 1 x 100 2x 1
16)lim ; 17)lim ; 18)lim ;
 x 2x3 x 6 x 0 x x 1 x 50 2x 1
 x x2n ... x n xm 1 m n
19)lim ; 20)lim n; 21)lim m n ; 
 x 1x1 x 1 x 1x1 1 x 1 x
 n n n 1
 xn a n x a n.a x a (1 mx) n (1 nx) m
22)lim ; 23)lim ; 24)lim ;
 x ax a x a xa 2 x 0 x2
 3 x 1 1 sin 2x cos2x 2
25)lim ; 26)lim ; 28)lim cotx .
 x 4x 2 2 x 0 1 sin 2x cos2x x 0 sin 2x
3-Tìm giới hạn dạng của hàm phân thức đại số chứa căn thức bậc hai 
Bài 4: Tính các giới hạn sau 
 x42 x32 2x2 x2x1 
1)lim ; 2)lim ; 3)lim ; 4)lim ;
 x 0x x 1 x 1 x 7 x22 49 x 1 x 12x 11
 x22 x43 x5323 x11 
5)lim ; 6)lim ; 7)lim ; 8)lim ;
 x 6x 6 x 5 x22 25 x 2 x 2 x 0 x x
 x2 2x 1 2x 1 x 1 x 2 2
9)lim ; 10)lim ; 11)lim 1 x 1 x ; 12)lim ;
 2 
 x 1x x x 1 x 1 x 0 x x2 x 7 3
 x11 4x2 2 x22x xaxa 
13)lim ; 14)lim ; 15)lim ; 16)lim ;
 x 03 2x 9 x 19 x2 3 x 2 x 1 3 x x a x 2 a 2
 4x 5 3x 5 x 1 3x 5 x x 1 1 x2 1 1
17)lim ; 18)lim ; 19)lim 20)lim ;
 x 1x 3 2 x 3 2x 3 x 6 x 1x12 x 0 x
 x 7 3 x 2 1 2x 2 3x 1 x22 2x 6 x 2x 6
21)lim ; 22) lim ; 23)lim ; 24)lim .
 x 2x22 4 x 1x 5 2 x 1 x 1 x 3 x 4x 3
4-Tìm giới hạn dạng của hàm phân thức đại số chứa căn thức bậc ba và bậc cao 
 0
Bài 5: Tính các giới hạn0 sau 
 34x2 3 1x1 3 2x11 3 x1 
1)lim ; 2)lim ; 3)lim ; 4)lim ;
 x 2x 2 x 0 x x 1 x 1 x 1 3 x 2 1
 32x1x 3 3 x1x1 3 3 xxx1 2 92x5 
5)lim ; 6)lim ; 7) lim ; 8)lim ;
 x 1x 1 x 0 2x 1 x 1 x 1x1 x 8 3 x 2
 5 5x 1 14 4x 3 1 4 4x 3 17 2 x 1
9)lim ; 10)lim ; 11)lim ; 12)lim ;
 x 0x x 1 x 1 x 1x 1 x 1 x 1
 n1 x 1 m x 1 (1 x)(1 3 x)...(1 n x)
13)lim ; 14)lim ; 15)lim .
 x 0x x 1 n x1 (1 x)n1 
 0
5-Tính giới hạn dạng của hàm số sử dụng phương pháp gọi hằng số vắng 
 0
Bài 6: Tính các giới hạn sau 
 21x8x 34 2x1x2 5 2x27x1 3 12x13x 3
1)lim ; 2)lim ; 3)lim ; 4)lim ; 
 x 0x x 1 x 1 x 1 x 1 x 0 x2 5 
 2 7
 25xx7 32 3 x 2009 1 2x 2009 12x13x14x1 3 3 
5)lim ; 6)lim ; 7)lim ;
 x 1x2 1 x 0 x x 0 x
 x2x20 3 m 1 xn 1  x 1 2x1x3x1 2 
8)lim ; 9)lim ; 10)lim .
 x 74 x 9 2 x 0x x 1 3 x 2 x2 x 1
 2 2xx 1.3 5 3 3 3xx 2 2 4xx 5 3 1 5
11) lim 12)lim2 ; 13) lim 
 x 1 x 1 x 2 xx 2 x 1 x 1
6-Tính giới hạn dạng của hàm số 
Bài 7: Tính các giới hạn sau 
 2
 6x5 7 x 3 4 x 3 3 x 2 2x 1 3 x x 1 x x 2 2
1) lim ; 2) lim ; 3) lim ;
 x 8x5 5 x 4 2 x 2 1 x 2 x 1 4 x 2 x 2
 8xx 5 2
 100 100 100 2 3
 1 x 2 x ... 100 x 2 x 3 4 x 7 x2 23 x x
4) lim100 10 ; 5) lim ; 6) lim ;
 x xx 10 100 x 3xx22 1 10 9 x 4x2 12 x 
 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x x22 1 x x x
7) lim5 ; 8) lim ; 9) lim ;
 x 51x x 21xx x 31xx 2
 41x 21 x22 x 531 x x x 4521 x x 
10) lim ; 11) lim ; 12) lim ; 13) lim ;
 x 4x2 3 x x x 2 1 x 1 x x 3 x 2 2 x 7 x
 x3x6 x3x 6 xx11 4 3 2xx10 2 
14) lim ; 15) lim ; 16) lim ; 17) lim ;
 x 2x12 x 2x1 2 x 2x7 x 93x 3
 x7x122 x4 4 xx11 5 3x1 
18) lim ; 19) lim ; 20) lim2 ; 21) lim ; 
 x 3 x 17 x x 4 x 2x x 1 x 1 x 4x2 x
 x x2 x 2x4 x 2 1 x 2 x 5 x x 2 1
22) lim ; 23) lim ; 24) lim ; 25) lim .
 x x 10 x 1 2x x 2x 1 x x
7-Tính giới hạn dạng của hàm số 
Bài 8: Tính các giới hạn sau 
1) lim x 1 x ; 2) lim x22 x 1 x ; 3) lim x 1 x 1 ;
 x x x 
4) lim 3x2 x 1 x 3 ; 5) lim 3x 2 x 1 x 3 ; 6) lim 2x 2 1 x ;
 x x x 
7)lim x2 x x 2 4 ; 8) lim x 2 2x 4 x 2 2x 4 ; 9) lim x 2 8x 4 x 2 7x 4 ;
 x xx 
 nn
 x x22 1 x x 1 
10) lim3 x32 3x x 2x ; 11) lim x( x22 2x 2 x x x); 12) lim ;
 x xx xn
 n
13) lim (x a1 )(x a 2 )...(x a n ) x ; 14) lim x x x ; 15) lim x a x b x ;
 x x x 
16) lim 2x 5 4x2 4x 1 ; 17) lim x 4x 2 9 2x ; 18) lim x x 2 1 x ;
 x x x 
19) lim x2 3x4 5 3x 4 2 ; 20) lim x x 2 2x x 2 x 2 x ; 21) lim3 x 3 1 x .
 x xx 
8-Tính giới hạn dạng 0. của hàm số 
Bài 9: Tính các giới hạn sau 
 x3 x x 1 2x 1
1) lim x 2 2 ; 2) lim x 1 2 ; 3) lim x 2 3 ; 4) lim x 1 3 ; 
 x2 x 4x1 x 1xx x x x x 2
 6 
 3x 1 2x3 x 3 x 4
5)lim12x ; 6)limx ; 7)lim . 
 x x3 1 x x 5 x 2 3 x 2 x2 2 4 x
III. Giới hạn một bên 
Bài 1: Dựa vào định nghĩa giới hạn một bên, tìm các giới hạn sau 
 11
a) lim x 1; b) lim 5 x 2x ; c) lim ; d) lim . 
 x 1 x 5 x 3x 3 x 1 x 3
Bài 2: Tính các giới hạn sau 
 x 2 x 4 x2 x 2 7x 12 x 2 3x 2
1) lim ; 2) lim ; 3) lim ; 4) lim ;
 x 0 x x x 2 2 x x 3 9 x2x1 x 5 x 4
 3x 6 3x 6 x22 3x 2 x 3x 2
5) lim ; 6) lim ; 7) lim ; 8) lim ; 
 x 2 x 2 x 2 x 2 x 1 x 1 x 1 x 1
 x23 4 x 1 1 x x 1 9 x2
9) lim ; 10) lim ; 11) lim ; 12) lim
 2
 x 2 x2 1 2 x x 1 x12 x1 xx23 x3 2x 7x 3
 1víi x 0
Bài 3: Gọi d là hàm dấu: d x 0 víi x 0 . Tìm lim d x , lim d x vµ limd x (nếu có). 
 x 0 x 0 x0 
 1 víi x 0
 x3 víi x<-1
Bài 4: Cho hàm số fx . Tìm limf x , limf x vµ limf x (nếu có). 
 2 
 2x 3 víi x 1 x 1 x 1 x1 
 2 x 1 víi x -2
Bài 5: Cho hàm số fx . Tìm lim f x , lim f x vµ lim f x (nếu có). 
 2 x2 
 2x 1 víi x 2 x 2 x 2 
 x2 2x 3 víi x 2
Bài 6: Cho hàm số fx . Tìm lim f x , lim f x vµ limf x (nếu có). 
 4x 3 víi x 2 x 2 x 2 x2 
 9 x2 víi -3 x<3
Bài 7: Cho hàm số f x 1 víi x 3 . Tìm lim f x , lim f x vµ limf x (nếu có). 
 x 3 x 3 x3 
 2
 x 9 víi x 3
 2x2 3
 víi x 1
 5
Bài 8: Tìm giới hạn một bên của hàm số f x 6-5x víi 1<x<3 
 x-3
 2 víi x 3
 x9 
khi x 1 vµ x 3 . 
IV. Một vài qui tắc tìm giới hạn 
Bài1: Tìm các giới hạn sau 
1) lim 3x3 5x 2 7 ; 2) lim 2x 2 3x 12; 3) lim3 1000 x 3 ;
 x x x 
 1 
4) lim ; 5) lim 3x2 5x; 6) lim3 x 2 3x 3 ;
 x 2x32 x 3x 5 x x 
Bài 2: Tìm các giới hạn sau 
 2x 1 2x 1 1 1 1 1 
1) lim ; 2) lim ; 3)lim ; 4) lim ; 
 22 
 x 2x 2 x 2 x 2x0 x x x 2 x 2 x 4 
 x2 32x 1 2x 2 x 2 4
5)lim32 ; 6)lim2 ; 7) lim ; 8) lim . 
 x 0x x x 2 x2 x 3 x 3 x 2 x 2
Bài 3: Tìm các giới hạn sau 7 
 x3 5 x 4 x 2x 4 x 1 x 2 5x 2
1) lim ; 2) lim ; 3) lim ; 4) lim . 
 x x122 x 12x x xx1 x 2|x|1 
Bài 4: Tìm các giới hạn sau 
 12x3 5 111 4x34
1)lim . ; 2)lim ; 3)lim . ; 4) lim . 
 x 123 x 12 x 1 2
 x 1 2x 3 x 1 x 3x 2 x 3 x 3 x2 2x 3x 2
V. Hàm số liên tục tại một điểm 
Bài 1: Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm cho trước 
 x13 
1)fx x3 x 3vµgx tại điểm x. 
 x12 0
 x23 3x 2 x 1
 víi x 2 víi x 1
2)f x x 2 t¹i ®iÓm x=2; 3)f x x 1 t¹i ®iÓm x=1;
 1 víi x=2 2 víi x=1 
 1
 víi x 0
4)f x x t¹i ®iÓm x=0; 5)f x | x | t¹i ®iÓm x=0;
 0 víi x=1
 1 1 x 2
 víi x 0 x 1 víi x 1
 x
6)f x t¹i ®iÓm x=0; 7)f x 1 t¹i ®iÓm x=-1; 
 1 víi x=-1
 víi x=0 2
 2
 x42 
 víi x -2
8)f x x2 t¹i ®iÓm x=-2. 
 4 víi x=-2
Bài 2: Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm x=1 
 x a víi x=1 x32 x 2x 2
 víi x 1
1)f x x12 ; 2)f x x1 . 
 víi x 1
 x1 3x a víi x=1
 a víi x=0
 2
 x x 6 2
Bài 3: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x=1 và x=3 f x 2 víi x 3x 0 . 
 x 3x
 b víi x=3
Bài 4: Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm cho trước 
 x22 1víi x 1 x 4 víi x 2
1)f x t¹i ®iÓm x=1; 2)f x t¹i ®iÓm x=2;
 x 1 víi x>1 2x 1 víi x 2
 . 
 2
 x víi x<0 4 3x2 víi x -2
3)f x t¹i ®iÓm x=0; 4) f x t¹i ®iÓm x=-2.
 3
 1 x víi x 0 x víi x>-2
Bài 5: Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm x=0 
 x a khi x 0 x 2a khi x 0
a)f x ; b)f x .
 22 
 x 1khix0 x x1khix0 
 x2 3x 2
 khi x 1
Bài 6: Cho hàm số fx x1 . 
 a khi x 1
a)Tìm a để hàm số liên tục trái tại x=1; 
b)Tìm a để hàm số liên tục phải tại x=1; 
c)Tìm a để hàm số liên tục trên . 8 
Bài 7: Tổng của hai hàm f(x)+g(x) có nhất thiết phải gián đoạn tại điểm x0 đã cho hay không nếu: 
a)Hàm f(x) liên tục, còn hàm g(x) gián đoạn tại điểm x0. b)Cả hai hàm f(x) và g(x) gián đoạn tại điểm 
x0.Nêu ví dụ tương ứng. 
VI. Hàm số liên tục trên một khoảng 
Bài 1: Chứng minh rằng: 
 1
a)Hàm số f(x)= xx242 liên tục trên . b)Hàm số fx liên tục trên khoảng (-1; 1). 
 1x 2
 1
c)Hàm số f(x)= 8 2x2 liên tục trên nửa khoảng [;) . 
 2
Bài 2: Chứng minh rằng mỗi hàm số sau đây liên tục trên tập xác định của nó: 
 x2 3x 4 1
a)f x ; b)f x 1 x 2 x; c)f x x2 x 3 . 
 2x 1 x 2
Bài 3: Giải thích vì sao: 
a)Hàm số f(x)= x22 sinx-2cos x+3 liên tục trên . 
 x3 xcosx+sinx
b)Hàm số g x liªn tôc trªn . 
 2sinx+3
 2x 1 sinx-cosx
c)Hàm số h x liªn tôc t¹i mäi ®iÓm x k , k . 
 xsinx
Bài 4: Tìm các khoảng, nửa khoảng trên đó mỗi hàm số sau đây liên tục: 
 x1 
a)fx ;b)fx 3x2; c)fx x2 2x3;d)fx x1sinx. 
 x2 7x 10
 x83 
 víi x 2
Bài 5: Hàm số fx 4x 8 có liên tục trên không? 
 3 víi x=2
Bài 6: Xét tính liên tục của các hàm số sau đây trên tập xác định của nó 
 22
 x22 x khi x 1 x víi x<1 a x víi x 2
1)fx ; 2)fx ; 3)fx ;
 ax+1 khi x 1 2ax+3 víi x 1 1 a x víi x>2
 x2 3x 2 
 víi x<2 x2 víi 0 x 1 2x a víi 0 x<1
4)fx 2 ;5)fx ; 6)fx .
 x 2x 2
 2-x víi 1<x 2 ax 2 víi 1 x 2
 mx+m+1 víi x 2
 2 2x 1 2x 2
 nÕu x > 1
 x1 
Bài 7: Xét tính liên tục của hàm số f(x) trên . 
 x
 mx2 nÕu x 1
 2
VII. Ứng dụng hàm số liên tục 
Bài 1: Cho hàm số f liên tục trên [0; 1]. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một số thực c thuộc [0; 1] sao 
cho f(c)=c. 
Bài 2: Chứng minh rằng: 
1)Phương trình x5 x 1 0 có nghiệm thuộc khoảng (-1; 1). 
2)Phương trình sinx-x+1=0 có nghiệm. 
3)Phương trình x32 1000x 0,1 0 có ít nhất một nghiệm âm. 
 1
4)Phương trình x32 1000x 0 có ít nhất một nghiệm dương. 
 100
5)Phương trình x42 3x 5x 6 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1; 2). 
6)Phương trình x3 x 1 0 có ít nhất một nghiệm âm lớn hơn -1. 
7)Phương trình 4x42 2x x 3 0 có ít nhất hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng (-1; 1). 
8)Phương trình 2x+ 63 1 x =3 có ít nhất ba nghiệm phân biệt thuộc (-7; 9). 
9)Phương trình 2x3 6x 1 0 có ít nhất ba nghiệm phân biệt trên khoảng (-2; 2). 9 
10)Phương trình x32 mx 1 0 luôn có nghiệm dương. 
11)Phương trình x32 ax bx c 0 luôn có ít nhất một nghiệm với mọi a, b, c. 
12)Nếu 2a+3b+6c=0 thì phương trình atan2 x+btanx+c=0 có ít nhất một nghiệm trên khoảng 
 k ; k , k . 
 4
 1
 víi x 0
Bài 3: Cho hàm số f x x . 
 1 víi x=0
a)Chứng tỏ f(-1).f(2)<0. b)Chứng tỏ f(x) không có nghiệm thuộc khoảng (-1; 2). 
c)Điều khẳng định trong b) có mâu thuẫn với định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục không? 
Bài 4: Cho a, b là hai số dương khác nhau. Người ta lập hai dãy (un) và (vn) bằng cách đặt 
 uv 
u a,v b,u nn ,v uv (n 1,2,3,...) . Chứng minh rằng limu limv . 
 1 1 n 12 n 1 n n nn
 n 1n 2k
 s ,n *.
Bài 5: Cho dãy (sn) với n n1  Tính limsn . 
 2kk1 
 n! 1p 2 p ... n p
Bài 6: Tính các giới hạn a)lim ; b)lim ,p *. 
 (2n 1)!! np1 
 CHÚC CÁC EM ĐẠT KẾT QUẢ CAO TRONG HỌC TẬP 
 ----------------------------------o0o--------------------------------- 
 BÀI TẬP CHƯƠNG III 10 
 VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN 
Bài 1: Cho tứ diện ABCD, M và N là các điểm lần lượt thuộc AB và CD sao cho MA 2MB, 
ND 2NC ; Các điểm I, J, K lần lượt thuộc AD, MN, BC sao cho IA kID, JM kJN, KB kKC . 
Chứng minh các điểm I, J, K thẳng hàng. 
Bài 2: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’; Các điểm M, N lần lượt thuộc các đường thẳng CA, DC’ sao 
cho MC mMA, ND mNC'. Xác định m để các đường thẳng MN, BD’ song song với nhau. Khi ấy, 
tính MN biết ABC ABB' CBB' 600 vµ BA a,BB' b, BC c. 
Bài 3: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BB’, A’C’. Điểm K thuộc 
B’C’ sao cho KC' 2KB'.Chøng minh bèn ®iÓm A, I, J, K cïng thuéc mét mÆt ph¼ng. 
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Một mặt phẳng (P) bất kì không đi qua S, cắt 
 SA SC SB SD
các cạnh SA, SB, SC, SD lần lượt tại các điểm A,B,C,D.1 1 1 1 CMR: . 
 SA1 SC 1 SB 1 SD 1
Bài 5: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh bằng m, các góc tại A bằng 60 0 (BAD A' AB 
 A' AD 600 ) . Gọi P và Q là các điểm xác định bởi AP D'A, C'Q DC'. Chứng minh rằng đường 
thẳng PQ đi qua trung điểm của cạnh BB’. Tính độ dài đoạn thẳng PQ. 
Bài 6: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi D1, D2, D3 lần lượt là điểm đối xứng với của điểm D’ qua 
A, B’, C. Chứng tỏ rằng B là trọng tâm của tứ diện D1D2D3D’. 
Bài 7: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N lần lượt là các điểm thuộc AD’ và DB sao cho 
MA kMD',ND kNB k 0,k 1 . 
a) Chứng minh rằng MN luôn song song với mp(A’BC). 
b) Khi đường thẳng MN song song với đường thẳng A’C’, chứng tỏ rằng MN vuông góc với AD’ và DB. 
Bài 8: Cho hình tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng m. Các điểm M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. 
a) Tính độ dài MN. 
b) Tính góc giữa đường thẳng MN với các đường thẳng BC, AB và CD. 
Bài9: Cho hình tứ diện ABCD; I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD; M là điểm thuộc AC sao 
cho MA k1 MC; N là điểm thuộc BD sao cho NB k2 ND . Chứng minh rằng các điểm I, J, M, N cùng 
thuộc một mặt phẳng khi và chỉ khi kk12 . 
Bài 10: Cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng. 
 3
a) Đặt xOy , yOz  , zOx  . Chøng minh r»ng cos  +cos +cos . 
 2
 b) Gäi Ox1 ,Oy 1 ,Oz 1 lÇn l­ît lµ c¸c tia ph©n gi¸c cña c¸cgóc xOy, yOz, zOx. Chứng minh rằng nếu Ox1 và 
Oy1 vuông góc với nhau thì Oz1 vuông góc với cả Ox1 và Oy1. 
Bài 11: Cho hai đường thẳng , 1 cắt ba mặt phẳng song song ,,   lần lượt tại A, B, C và A1, 
B1, C1. Với điểm O bất kì trong không gian, đặt OI AA1 ,OJ BB 1 ,OK CC 1 . Chứng minh ba điểm I, J, 
K thẳng hàng. 
Bài12: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J, H, K, E, F lần lượt là trung điểm các cạnh AB, CD, BC, AD, AC, 
BD. Chứng minh rằng AB2 CD 2 AC 2 BD 2 BC 2 AD 2 4 IJ 2 HK 2 EF 2 . 
Bài 13: Cho tứ diện ABCD. Lấy các điểm M, N, P, Q lần lượt thuộc AB, BC, CD, DA sao cho 
 1 21
AM AB, BN BC, AQ AD, DP kDC. Hãy xác định k để bốn điểm P, Q, M, N cùng nằm trên 
 3 32
mặt phẳng. 
Bài14: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Một đường thẳng d cắt các đương thẳng AA', BC, C'D' lần lượt 
 MA
tại M, N, P sao cho NM 2NP . Tính . 
 MA '
Bài15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, cạnh bên SA=SB và SA vuông góc với BC. 
a) Tính góc giữa hai đường thẳng SD và BC. 11 
b) Gọi I, J lần lượt là các điểm thuộc SB và SD sao cho IJ//BD. Chứng minh rằng góc góc giữa AC và IJ 
không phụ thuộc vào vị trí của I, J. 
Bài 16: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a, BAD 6000 , BAA' DAA' 120 . 
a) Tính góc giữa các cặp đường thẳng AB với A'D và AC' với B'D. 
b) Tính diện tích của các hình A'B'CD và ACC'A'. 
c) Tính góc giữa đường thẳng AC' và các đương thẳng AB, AD, AA'. 
Bài17: Cho tứ diện ABCD trong đó góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng . Gọi M là điểm bất kì 
thuộc cạnh AC, đặt AM=x (0<x<AC). Xét mặt phẳng (P) đi qua điểm M và song song với AB, CD. 
a) Xác định vị trí điểm M để diện tích thiết diện của hình tứ diện ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (P) đạt 
giá trị lớn nhất. 
b) Chứng minh rằng chu vi thiết diện nêu trên không phụ thuộc vào x khi và chỉ khi AB=CD. 
Bài18: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, mặt bên SAB là tam giác vuông tại A. Với 
điểm M bất kì thuộc cạnh AD (M khác A và D), xét mặt phẳng (P) đi qua M và song song với SA và 
CD. 
a) Thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi (P) là hình gì? 
b) Tính diện tích thiết diện theo a và b; biết AB=a, SB=b, M là trung điểm của AD. 
Bài 19: Cho tứ diện ABCD. Lấy điểm M và N lần lượt thuộc các đường thẳng BC và AD sao cho 
MB kMC vµ NA kND với k là số thực khác 0 cho trước. Đặt là góc giữa hai vectơ 
MA vµ BA; ®Æt  lµ gãc gi÷a hai vect¬ MN vµ CD. T×m mèi liªn hÖ gi÷a AD vµ CD ®Ó  = =450 . 
Bài 20: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J, H, Klần lượt là trung điểm của BC, CA, AD, DB. Tính góc giữa 
hai đường thẳng AB và CD trong các trường hợp sau: 
a) Tứ giác IJHK là hình thoi có đường chéo IH 3IJ . 
b) Tứ giác IJHK là hình chữ nhật. 
 4
Bài 21: Cho tứ diện ABCD có CD AB . Gọi I, J, Klần lượt là trung điểm của BC, CA, AD, DB. Cho 
 3
 5
biết JK AB , tính góc giữa đường thẳng CD với các đường thẳng IJ và AB. 
 6
Bài 22: Cho tứ diện ABCD có BC=AD=a, AC=BD=b, AB=CD=c. Đặt là góc giữa BD và AD; đặt  
là góc giữa hai đường thẳng AB và BD; đặt  là góc giữa hai đường thẳng AB và CD. Chứng minh 
rằng trong 3 số hạng a2 cos , b 2 cos  , c 2 cos  có một số hạng bằng tổng hai số hạng còn lại. 
Bài 23: Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và 
CD. Lấy các điểm I, J, K lần lượt thuộc các đường thẳng BC, CA, AD sao cho 
IB kIC, JA kIC, KA kKD trong đó k là một số khác 0 cho trước. Chứng minh rằng: 
a)MN IJ vµ MN  JK. b)AB  CD. 
Bài 24: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và SA=SC, SB=SD. Gọi O là giao điểm của 
AC và BD. 
a) Chứng minh rằng SO  mp(ABCD). 
b) Gọi d là giao tuyến của mp(SAB) và mp(SCD); d1 là giao tuyến của mp(SBC) và mp(SAD). Chứng 
minh rằng SO mp(d, d1). 
Bài 25: Cho hai hình chữ nhật ABCD, ABEF nằm trên hai mặt phẳng khác nhau sao cho hai đường chéo 
AC và BF vuông góc. Gọi CH và FK lần lượt là hai đường cao của hai tam giác BCE và ADF. Chứng minh 
rằng: 
a)ACH và BFK là các tam giác vuông. 
 b)BF AH và AC BK. 
Bài26: a)Cho tứ diện DABC có cạnh bằng nhau. Gọi H là hình chiếu của D trên mp(ABC) và I là trung 
điểm của DH. Chứng minh rằng tứ diện IABC có IA, IB, IC đôi một vuông góc. 12 
b)Cho tứ diện IABC có IA=IB=IC và IA, IB, IC đôi một vuông góc. H là hình chiếu của I trên mp(ABC). 
Gọi D là điểm đối xứng của H qua I. Chứng minh tứ diện DABC có các cạnh bằng nhau. 
Bài 27: Cho hình chóp S.ABC có SB vuông góc với mp(ABC), ABC là tam giác vuông tại A. 
a) Chứng minh ASC là tam giác vuông. 
b) Tính SA, SB, SC biết rằng ACB  , ACS vµ BC=a. 
Bài 28: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mp(ABCD), 
SA=a, và ABC 600 . 
a)Tính độ dài các cạnh SB, SC, SD. 
b)Gọi I là trung điểm của SC. Chứng minh rằng IB=ID. 
Bài 29: Chứng minh rằng các cặp cạnh đối diện của tứ diện ABCD vuông góc với nhau từng đôi một thì 
trong bốn mặt của tứ diện có ít nhất một mặt là tam giác nhọn (cả ba góc của nó đều nhọn). 
 6
Bài 30: Cho tứ diện ABCD, đáy là tam giác cân và DA mp(ABC), AB=AC=a, BC= a . Gọi M là 
 5
trung điểm của BC. Vẽ AH vuôngg góc với MD (H thuộc đường thẳng MD). 
a) Chứng minh rằng AH mp(BCD). 
 4
b) Cho AD= a . Tính góc giữa hai đường thẳng AC và DM. 
 5
c) Gọi G1, G2 lần lượt là các trọng tâm của các tam giác ABC và DBC. CMR: G1G2 mp(ABC). 
Bài 31: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của DC và BB'. Chứng 
minh rằng MN A'C. 
Bài 32: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Trên DC và BB' ta lần lượt lấy các điểm 
M và N sao cho DM=BN=x với 0 x a . Chứng minh hai đường thẳng AC' và MN vuông góc với 
nhau. 
Bài 33: Cho hình thang ABCD vuông ở A và D, AB=AD=a, DC=2a. Trên đường thẳng vuông góc 
với mặt phẳng (ABCD) tại D lấy một điểm S sao cho SD=a. Các mặt bên của tam giác là những tam 
giác như thế nào? 
Bài 34: Hình chóp S.ADCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O và có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng 
(ABCD). Gọi H, I và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên các cạnh SB, SC và SD. Chứng 
minh: 
a)BC (SAB), CD  (SAD)vµ BD  (SAC).
b)SC (AHK) vµ I (AHK). 
c)HK (SAC), tõ ®ã suy ra HK AI.
Bài 35: Cho tam giác ABC vuông tại C. Trên nửa đường thẳng At vuông góc với (ABC) lấy điểm S. 
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB và SC. Chứng minh AK vuông góc với (SBC) 
và KH vuông góc với SB. 
 CHÚC CÁC EM ĐẠT KẾT QUẢ CAO TRONG HỌC TẬP 
 
 ----------------------------------o0o---------------------------------