Ôn tập môn Đại số Lớp 8 - Chương III: Phương trình bậc nhất một ẩn

 VẤN ĐỀ III. Chứng minh hai phương trình tương đương
 Để chứng minh hai phương trình tương đương, ta có thể sử dụng một trong các cách sau:
 Chứng minh hai phương trình có cùng tập nghiệm.
 Sử dụng các phép biến đổi tương đương để biến đổi phương trình này thành phương trình kia.
 Hai qui tắc biến đổi phương trình:
 – Qui tắc chuyển vế: Trong một phương trình, ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang 
 vế kia và đổi dấu hạng tử đó.
 – Qui tắc nhân: Trong một phương trình, ta có thể nhân cả hai vế với cùng một số khác 0.
Bài 1. Xét xem các phương trình sau có tương đương hay không?
 a) 3x 3 và x 1 0 b) x 3 0 và 3x 9 0
 c) x 2 0 và (x 2)(x 3) 0 d) 2x 6 0 và x(x 3) 0
Bài 2. Xét xem các phương trình sau có tương đương hay không?
 a) x2 2 0 và x(x2 2) 0 b) x 1 x và x2 1 0
 x 1 1
 c) x 2 0 và 0 d) x2 x và x2 x 0
 x 2 x x
 e) x 1 2 và (x 1)(x 3) 0 f) x 5 0 và (x 5)(x2 1) 0
 21 ĐS: a) x tuỳ ý b) x tuỳ ý c) x tuỳ ý d) vô nghiệm e) vô nghiệm f) vô nghiệm
Bài 6. Giải các phương trình sau:
 (x 2)(x 10) (x 4)(x 10) (x 2)(x 4) (x 2)2 (x 2)2
 a) b) 2(2x 1) 25 
 3 12 4 8 8
 (2x 3)(2x 3) (x 4)2 (x 2)2 7x2 14x 5 (2x 1)2 (x 1)2
 c) d) 
 8 6 3 15 5 3
 (7x 1)(x 2) 2 (x 2)2 (x 1)(x 3)
 e) 
 10 5 5 2
 123 1 19
 ĐS: a) x 8 b) x 9 c) x d) x e) x 
 64 12 15
Bài 7. Giải các phương trình sau: (Biến đổi đặc biệt)
 x 1 x 3 x 5 x 7
 a) (HD: Cộng thêm 1 vào các hạng tử) 
 35 33 31 29
 x 10 x 8 x 6 x 4 x 2
 b) (HD: Trừ đi 1 vào các hạng tử)
 1994 1996 1998 2000 2002
 x 2002 x 2000 x 1998 x 1996 x 1994
 2 4 6 8 10
 x 1991 x 1993 x 1995 x 1997 x 1999
 c) 
 9 7 5 3 1
 x 9 x 7 x 5 x 3 x 1
 (HD: Trừ đi 1 vào các hạng tử)
 1991 1993 1995 1997 1999
 x 85 x 74 x 67 x 64
 d) 10 (Chú ý: 10 1 2 3 4 )
 15 13 11 9
 x 1 2x 13 3x 15 4x 27
 e) (HD: Thêm hoặc bớt 1 vào các hạng tử)
 13 15 27 29
 ĐS: a) x 36 b) x 2004 c) x 2000 d) x 100 e) x 14 . 
Bài 8. Giải các phương trình sau: (Biến đổi đặc biệt)
 x 1 x 3 x 5 x 7 x 29 x 27 x 17 x 15
 a) b) 
 65 63 61 59 31 33 43 45
 x 6 x 8 x 10 x 12 1909 x 1907 x 1905 x 1903 x
 c) d) 4 0
 1999 1997 1995 1993 91 93 95 91
 x 29 x 27 x 25 x 23 x 21 x 19
 e) 
 1970 1972 1974 1976 1978 1980
 x 1970 x 1972 x 1974 x 1976 x 1978 x 1980
 29 27 25 23 21 19
 ĐS: a) x 66 b) x 60 c) x 2005 d) x 2000 e) x 1999 . 
 23 23 1
 e) x 5; x f) x 3; x 
 7 2
Bài 6. Giải các phương trình sau:
 a) (9x2 4)(x 1) (3x 2)(x2 1) b) (x 1)2 1 x2 (1 x)(x 3)
 c) (x2 1)(x 2)(x 3) (x 1)(x2 4)(x 5) d) x4 x3 x 1 0
 e) x3 7x 6 0 f) x4 4x3 12x 9 0
 g) x5 5x3 4x 0 h) x4 4x3 3x2 4x 4 0
 2 1 7
 ĐS: a) x ; x 1; x b) x 1; x 1 c) x 1; x 2; x 
 3 2 5
 d) x 1 e) x 1; x 2; x 3 f) x 1; x 3
 g) x 0; x 1; x 1; x 2; x 2 h) x 1; x 1; x 2
Bài 7. Giải các phương trình sau: (Đặt ẩn phụ)
 a) (x2 x)2 4(x2 x) 12 0 b) (x2 2x 3)2 9(x2 2x 3) 18 0
 c) (x 2)(x 2)(x2 10) 72 d) x(x 1)(x2 x 1) 42
 e) (x 1)(x 3)(x 5)(x 7) 297 0 f) x4 2x2 144x 1295 0 
 ĐS: a) x 1; x 2 b) x 0; x 1; x 2; x 3 c) x 4; x 4 d) x 2; x 3
 e) x 4; x 8 f) x 5; x 7
 VẤN ĐỀ III. Phương trình chứa ẩn ở mẫu
Các bước giải phương trình chứa ẩn ở mẫu:
 Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.
 Bước 2: Qui đồng mẫu hai vế của phương trình, rồi khử mẫu.
 Bước 3: Giải phương trình vừa nhân được.
 Bước 4: (Kết luận) Trong các giá trị của ẩn tìm được ở bước 3, các giá trị thoả mãn điều kiện 
 xác định chính là các nghiệm của phương trình đã cho.
Bài 1. Giải các phương trình sau:
 25 III. GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH
Các bước giải toán bằng cách lập phương trình:
 Bước 1: Lập phương trình
 – Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.
 – Biểu diễn các đại lượng chưa biết khác theo ẩn và các đại lượng đã biết.
 – Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
 Bước 2: Giải phương trình
 Bước 3: Trả lời
 Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thoả mãn điều kiện của ẩn, 
 nghiệm nào không, rồi kết luận.
 27 1
 – Bạn thứ nhất nhận một viên kẹo và được lấy thêm số kẹo còn lại.
 11
 1
 – Sau khi bạn thứ nhất lấy phần của mình, bạn thứ hai nhận 2 viên kẹo và được lấy thêm 
 11
 số kẹo còn lại.
 1
 Cứ như thế đến bạn cuối cùng, thứ n, nhận n viên kẹo và được lấy thêm số kẹo còn lại.
 11
 Hỏi phân đội đó có bao nhiêu đội viên và mỗi đội viên nhận bao nhiêu viên kẹo.
 ĐS: 10 đội viên, mỗi đội viện nhận 10 viên kẹo.
Bài 12. Một người bán số sầu riêng thu hoạch được như sau:
 1
 – Lần thứ nhất bán 9 trái và số sầu riêng còn lại.
 6
 1
 – Lần thứ hai bán 18 trái và số sầu riêng còn lại mới.
 6
 1
 – Lần thứ ba bá 27 trái và số sầu riêng còn lại mới, v.v...
 6
 Với cách đó thì bán lần sau cùng là vừa hết và số sầu riêng bán mỗi lần đều bằng nhau.
 Hỏi người đó đã bán bao nhiêu lần và số sầu riêng thu hoạch được là bao nhiêu trái?
 ĐS: 225 trái, bán 5 lần.
Bài 13. Ba lớp A, B, C góp sách tặng các bạn học sinh vùng khó khăn, tất cả được 358 cuốn. Tỉ số 
 6 7
 số cuốn sách của lớp A so với lớp B là . Tỉ số số cuốn sách của lớp A so với lớp C là . 
 11 10
 Hỏi mỗi lớp góp được bao nhiêu cuốn sách?
 ĐS: Lớp A: 84 cuốn; lớp B: 154 cuốn; lớp C: 120 cuốn.
Bài 14. Dân số tỉnh A hiện nay là 612060 người. Hàng năm dân số tỉnh này tăng 1%. Hỏi hai năm 
 trước đây dân số của tỉnh A là bao nhiêu?
 ĐS: 600000 người.
Bài 15. Trong một trường học, vào đầu năm học số học sinh nam và nữ bằng nhau. Nhưng trong 
 học kì 1, trường nhận thêm 15 học sinh nữ và 5 học sinh nam nên số học sinh nữ chiếm 51% 
 số học sinh của trường. Hỏi cuối học kì 1, trường có bao nhiêu học sinh nam, học sinh nữ?
 ĐS: 245 nam, 255 nữ.
 VẤN ĐỀ II. Loại tìm số gồm hai, ba chữ số
 Số có hai chữ số có dạng: xy 10x y . Điều kiện: x,y N,0 x 9,0 y 9 .
 Số có ba chữ số có dạng: xyz 100x 10y z . Điều kiện: x,y,z N,0 x 9,0 y,z 9 .
Bài 1. Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng:
 – Tổng hai chữ số là 12
 – Nếu đổi chỗ hai chữ số thì được một số mới lớn hơn số đó là 36.
 ĐS: 48
Bài 2. Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng:
 – Tổng hai chữ số là 10
 – Nếu viết số đó theo thứ tự ngược lại thì được một số mới nhỏ hơn số đó là 36.
 ĐS: 73
Bài 3. Một số tự nhiên có 5 chữ số. Nếu thêm chữ số 1 vào bên phải hay bên trái số đó ta được một 
 số có 6 chữ số. Biết rằng nếu viết thêm vào bên phải số đó thì được một số lớn gấp ba lần số 
 nhận được khi ta viết thêm vào bên trái số đó. Tìm số đó.
 ĐS: 42857.
Bài 4. Một số có hai chữ số, trong đó chữ số hàng chục gấp 3 lần chữ số hàng đơn vị. Nếu đổi chỗ 
 hai chữ số ta được một số có hai chữ số nhỏ hơn số ban đầu 18 đơn vị. Tìm số đó.
 29 tốc trên quãng đường còn lại giảm còn 40 km/h. Vì vậy đã đến nơi chậm mất 18 phút. Tìm 
 chiều dài quãng đường từ A đến B.
 ĐS: 80km .
Bài 5. Lúc 6 giờ 15 phút, một ô tô đi từ A để đên B với vận tốc 70 km/h. Khi đến B, ô tô nghỉ 1 giờ 
 rưỡi, rồi quay về A với vận tốc 60 km/h và đến A lúc 11 giờ cùng ngày. Tính quãng đường 
 AB.
 ĐS: 105 km.
Bài 6. Hàng ngày Tuấn đi xe đạp đến trường với vận tốc 12 km/h. Sáng nay do dậy muộn, Tuấn 
 xuất phát chậm 2 phút. Tuấn nhẩm tính, để đến trường đúng giờ như hôm trước thì Tuấn phải 
 đi với vận tốc 15 km/h. Tính quãng đường từ nhà Tuấn đến trường.
 ĐS: 2 km.
Bài 7. Một người đi xe máy từ thành phố Thanh Hoá và thành phố Vinh. Nếu chạy với vận tốc 25 
 km/h thì sẽ muộn so với dự định là 2 giờ. Nếu chạy với vận tốc 30 km/h và giữa đường nghỉ 1 
 giờ thì cũng muộn mất 2 giờ. Hỏi để đến nơi đúng giờ mà dọc đường không nghỉ thì xe phải 
 chạy mỗi giờ bao nhiêu kilômet?
 ĐS: 37,5 km.
Bài 8. Hai ô tô khởi hành cùng một lúc để đi từ Huế và Đà Nẵng. Vận tốc xe thứ nhất là 40 km/h, 
 vận tốc xe thứ hai là 60 km/h. Xe thứ hai đến Đà Nẵng nghỉ nửa giờ rồi quay lại Huế thì gặp 
 xe thứ nhất ở cách Đà Nẵng 10 km. Tính quãng đường Huế - Đà Nẵng.
 ĐS: 110 km.
Bài 9. Quãng đường AD dài 9 km, gồm đoạn AB lên dốc, đoạn BC nằm ngang, đoạn CD xuống 
 dốc. Một người đi bộ từ A đến D rồi quay trở về A hết tất cả 3 giờ 41 phút. Tính quãng đường 
 BC, biết vận tốc lúc lên dốc của người đó là 4 km/h, lúc xuống dốc là 6 km/h và lúc đi trên 
 đường nằm ngang là 5 km/h.
 ĐS: 4 km.
Bài 10. Một xe tải đi từ A đến B với vận tốc 45 km/h. Sau đó một thời gian, một xe con cũng xuất 
 phát từ A với vận tốc 60 km/h và nếu không có gì thay đổi thì đuổi kịp xe tải tại B. Nhưng sau 
 khi đi được nửa quãng đường AB thì xe con tăng vận tốc lên 75 km/h, nên sau đó 1 giờ thì 
 đuổi kịp xe tải. Tính quãng đường AB.
 ĐS: 450 km.
Bài 11. Một đò máy xuôi dòng từ bến A đến bến B mất 4 giờ và ngược dòng từ B về A mất 5 giờ. 
 Vận tốc của dòng nước là 2 km/h. Tìm chiều dài quãng đường từ A đến B.
 ĐS: 80km .
Bài 12. Một ca nô xuôi dòng từ A đến B mất 5 giờ và ngược dòng từ B đến A mất 6 giờ. Tính 
 khoảng cách AB, biết vận tốc dòng nước là 2 km/h.
 ĐS: 120 km.
Bài 13. Hai bến sông A và B cách nhau 40 km. Cùng một lúc với ca nô xuôi dòng từ bến A, có một 
 chiếc bè trôi từ bến A với vận tốc 3 km/h. Sau khi đến B, ca nô trở về bêbs A ngay và gặp bè 
 khi bè đã trôi được 8 km. Tính vận tốc của ca nô.
 ĐS: 27 km/h.
Bài 14. Một chiếc thuyền đi từ bến A đến bến B hết 5 giờ, từ bến B đến bến A hết 7 giờ. Hỏi một 
 đám béo trôi theo dòng sông từ A đến B hết bao lâu?
 ĐS: 35 giờ.
Bài 15. 
 ĐS: 
 VẤN ĐỀ V. Loại có nội dung hình học
 Hình chữ nhật có hai kích thước a, b. Diện tích: S ab ; Chu vi: P 2(a b)
 1
 Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông a, b. Diện tích: S ab
 2
 31 Bài 3. Giải các phương trình sau:
 x 2 x 4 x 6 x 8 x 2 2x 45 3x 8 4x 69
 a) b) 
 98 96 94 92 13 15 37 9
 ĐS: a) x 100 b) x 15
Bài 4. Giải các phương trình sau:
 2 3 4 2x 18 2x 5
 a) b) 
 2x 1 2x 1 4x2 1 x 1 x2 2x 3 x 3
 1 2x2 5 4
 c) 
 x 1 x3 1 x2 x 1
 9
 ĐS: a) x b) x 1 c) x 0
 2
Bài 5. Thương của hai số bằng 3. Nếu tăng số bị chia 10 đơn vị và giảm số chia đi một nửa thì số 
 thứ nhất thu được lớn hơn số thứ hai thu được là 30. Tìm hai số ban đầu.
 ĐS: 24 và 8.
Bài 6. Chu vi của một hình chữ nhật bằng 140 m, hiệu giữa số đo chiều dài và chiều rộng là 10 m. 
 Tìm số đo các cạnh của hình chữ nhật.
 ĐS: 30 m và 40 m.
Bài 7. Thùng thứ nhất đựng 40 lít dầu, thùng thứ hai đựng 85 lít dầu. Ở thùng thứ hai lấy ra một 
 lượng dầu gấp 3 lần lượng dầu lấy ra ở thùng thứ nhất. Sau đó lượng dầu còn lại trong thùng 
 thứ nhất gấp đôi lượng dầu còn lại trong thùng thứ hai. Hỏi đã lấy ra bao nhiêu lít dầu?
 ĐS: 26 lít và 78 lít.
Bài 8. Chu vi bánh xe lớn của một đầu máy xe lửa là 5,6 m và của bánh xe nhỏ là 2,4 m. Khi xe 
 chạy từ ga A đến ga B thì bánh nhỏ đã lăn nhiều hơn bánh lớn là 4000 vòng. Tính quãng 
 đường AB.
 ĐS: 16800 m.
Bài 9. Hai vòi nước cùng chảy trong 12 giờ thì đầy một hồ nước. Cho hai vòi cùng chảy trong 8 
 giờ rồi khoá vòi thứ nhất lại và cho vòi thứ hai chảy tiếp với lưu lượng mạnh gấp đôi thì phải 
 mất 3 giờ 30 phút nữa mới đầy hồ. Hỏi mỗi vòi chảy một mình với lưu lượng ban đầu thì phải 
 mất bao lâu mới đầy hồ.
 ĐS: Vòi thứ nhất chảy trong 28 giờ, vòi thứ hai chảy trong 21 giờ.
Bài 10. Một ô tô đi quãng đường dài 60 km trong một thời gian đã định. Ô tô đi nửa quãng đường 
 đầu với vận tốc hơn dự định là 10 km/h và đi nửa quãng đường còn lại với vận tốc thấp hơn 
 dự định là 6 km/h nhưng ô tô đã đến đúng thời gian đã định. Tính thời gian ô tô đã dự định đi 
 quãng đường trên.
 ĐS: 2 giờ.
Bài 11. Một xe ô tô đi từ Hà Nội về Thanh Hoá. Sau khi đi được 43 km thì dừng lại 40 phút. Để về 
 đến Thanh Hoá đúng giờ đã định nó phải đi với vận tốc bằng 1,2 lần vận tốc trước đó. Tính 
 vận tốc lúc đầu, biết rằng quãng đường Hà Nội - Thanh Hoá dài 163 km.
 ĐS: 30 km.
Bài 12. Hai người đi bộ cùng khởi hành từ A để đến B. Người thứ nhất đi nửa thời gian đầu với vận 
 tốc 5 km/h, nửa thời gian sau với vận tốc 4 km/h. Người thứ hai đi nửa quãng đường đầu với 
 vận tốc 4 km/h và nửa quãng đường sau với vận tốc 5 km/h. Hỏi người nào đến B trước?
 ĐS: Người thứ nhất đến trước.
Bài 13.
 ĐS: 
 33