SKKN Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán Tương giao đồ thị trong các đề thi tốt nghiệp Trung học Phổ thông

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIA LAI 
 TRƯỜNG THPT VÕ VĂN KIỆT 
 ĐỀ TÀI: 
HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO 
ĐỒ THỊ TRONG CÁC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 
 SÁNG KIẾN 
 Người thực hiện: Siu Tâng 
 Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn 
 Môn: Toán học 
 Gia Lai, năm 2023 
 MỤC LỤC Trang 
Phần I. ĐẶT VẤN ĐỀ .............................................................................................. 3 
 1.1. Lý do chọn đề tài ........................................................................... 3 
 1.2. Mục đích nghiên cứu ...................................................................... 4 
 1.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ................................................... 4 
 1.3.1. Đối tượng nghiên cứu .......................................................................... 4 
 1.3.2. Phạm vi nghiên cứu ............................................................................. 4 
 1.4. Phương pháp nghiên cứu ................................................................ 4 
Phần II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ .............................................................................. 5 
 2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến ............................................................ 5 
 2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến ............................... 5 
 2.3. Các giải pháp sử dụng để giải quyết vấn đề .................................... 5 
 2.3.1. Kiến thức cơ bản ...................................................................................... 6 
 2.3.2. Các dạng toán thường gặp và phương pháp giải ...................................... 6 
 Dạng 1: Bài toán tương giao đồ thị thông qua đồ thị, bảng biến thiên .... 6 
 Dạng 2. Bài toán tương giao đồ thị thông qua hàm số cho trước không 
 chứa tham số ....................................................................................... 11 
 Dạng 3. Bài toán tương giao đồ thị thông qua hàm số cho trước chứa 
 tham số. .............................................................................................. 15 
 2.4. Hiệu quả của sáng kiến ................................................................ 21 
Phần III. KẾT THÚC VẤN ĐỀ .............................................................................. 22 
TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................................... 24 
PHỤ LỤC ................................................................................................................ 25 
 2 
 Phần I. ĐẶT VẤN ĐỀ 
1.1. Lý do chọn đề tài 
 Năm học 2022 – 2023 là một năm bình thường mới trở lại sau hơn 3 năm đại 
dịch Covid-19. Từ kết quả tốt nghiệp trung học phổ thông năm 2022 của tỉnh Gia 
Lai, Sở Giáo dục và Đào tạo Gia Lai ban hành nhiều văn bản chỉ đạo: 
 Công văn số 2273/SGDĐT-GDTrHCTTX ngày 31/8/2022 về việc triển khai 
thực hiện nhiệm vụ giáo dục trung học năm học 2022-2023. 
 Công văn số 2923/SGDĐT-GDTrHCTTX ngày 07/9/2022 của Sở GDĐT về 
việc triển khai thực hiện nhiệm vụ năm học 2022-2023 đối với giáo dục thường 
xuyên. 
 Kế hoạch số 2425/KH-SGDĐT ngày 19/9/2022 của Sở GDĐT nâng cao chất 
lượng của Kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông năm 2023. 
 Nâng cao điểm số trong kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông năm 2023 đó 
không chỉ thách thức lớn cho nhiều giáo viên mà cả toàn ngành giáo dục, trong 
những năm qua vì đại dịch học sinh tiếp thu lượng kiến chưa đảm bảo, để đáp ứng 
được yêu cầu chung cho kỳ thi tốt nghiệp, trong quá trình giảng dạy tôi không ngừng 
nghiên cứu biên soạn tài liệu ôn tập sao cho phù hợp với lực học của học sinh nhưng 
phải đảm bảo cốt lõi nội dung kiến thức trọng tâm của chương trình ôn thi tốt nghiệp 
trung học phổ thông. 
 Thực tế trong giảng dạy, việc lựa chọn phương pháp dạy học phù hợp sẽ kích 
thích được hứng thú học tập của học sinh, giúp học sinh lĩnh hội được tri thức một 
cách chủ động và đạt được mục đích học tập. Nhưng việc biên soạn tài liệu vừa đủ 
vừa đa dạng các bài tập lại nhiệm vụ không hề nhỏ đối với giáo viên. Nhiều học sinh 
chưa nắm được bản chất của vấn đề, chưa có phương pháp tiếp cận phù hợp, còn 
lùng túng khi giải quyết các bài toán. Vậy để khắc phục những điểm yếu trên, tôi 
chọn lọc ra các dạng toán từ các đề thi của Bộ giáo dục và Đào tạo, các Sở giáo dục 
và đào tạo qua các năm và tiến hành tìm cách tiếp cận sao cho học sinh dễ học và dễ 
tiếp thu, giúp học sinh nắm bắt và nhận diện các hướng ra đề thi của Bộ giáo dục và 
Đào tạo và đặc biệt là đề thi tham khảo Tốt nghiệp trung học phổ thông năm 2023. 
 Nhằm giúp học sinh giải quyết, tiếp cận kiến thức trọng tâm về Tương giao đồ 
 3 
 thị một cách chủ động tôi chọn đề tài “Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán 
Tương giao đồ thị trong các kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông”. 
 Đây là một trong các số chuyên đề trong các chủ đề ôn thi tốt nghiệp mà tôi 
biên soạn nhằm giúp học sinh có cách nhìn tổng quan về đề thi tốt nghiệp năm 2023. 
1.2. Mục đích nghiên cứu 
 Mục đích nghiên cứu của đề tài là nhằm cung cấp thêm cho học sinh những 
cách tiếp cận nhanh, hiệu quả nhất trong việc giải các bài toán về Tương giao đồ thị, 
nắm rõ một số dạng toán cơ bản trong các đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông; từ 
đó từng bước nâng cao chất lượng dạy và học, nâng dần điểm số trong Kỳ thi tốt 
nghiệp trung học phổ thông hiện nay. 
1.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 
1.3.1. Đối tượng nghiên cứu 
 Đề tài tập trung nghiên cứu cho học sinh khối 12 THPT Võ Văn Kiệt. 
 Giáo viên dạy môn Toán trường THPT Võ Văn Kiệt. 
1.3.2. Phạm vi nghiên cứu 
 Các phương pháp giải bài toán trắc nghiệm về chủ đề “Tương giao đồ thị”. 
1.4. Phương pháp nghiên cứu 
1.4.1. Phương pháp nghiên cứu lý thuyết 
 Nghiên cứu các nguồn tài liệu, đổi mới phương pháp dạy học theo hướng tích 
cực hóa việc học của học sinh. 
1.4.2. Phương pháp chuyên gia 
 Trao đổi, tiếp thu ý kiến giáo viên để làm cơ sở cho việc nghiên cứu đề tài. 
1.4.3. Phương pháp thực tập sư phạm 
 Thực nghiệm sư phạm ở trường THPT Võ Văn Kiệt. 
1.4.4. Phương pháp thống kê toán học 
 Sử dụng phương pháp thống kê toán học để thống kê, xử lý, đánh giá kết quả. 
1.5. Thời gian nghiên cứu 
 Từ tháng 9 năm 2021 đến tháng 12 năm 2022. 
 4 
 Phần II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến 
 Qua thực tế nhiều năm giảng dạy, tôi nhận thấy rằng: 
 Đa số học sinh gặp rất nhiều khó khăn khi giải quyết bài toán Tương giao đồ 
thị chủ yếu một số nguyên nhân: phương pháp học tập chưa hiệu quả, chưa khai thác 
tốt các kênh học tập phù hợp, tài liệu học chưa hệ thống hóa các nội dung chủ đề 
kiến thức trọng tâm. 
 Hơn nữa, nhiều học sinh kỹ năng tính toán còn chậm, thiếu các điều kiện cần 
thiết cho việc học tập hiệu quả. Vì vậy, giáo viên phải là người chủ động biên soạn, 
biên tập các tài liệu làm nguồn tài liệu chính, từ đó góp phần nâng cao chất lượng 
học tập. 
 Sau khi tiếp cận đề tài này học sinh nắm trọn phương pháp cơ bản, biết phân 
loại được các dạng toán trong các đề thi; giải quyết linh hoạt, khả năng lập luận chủ 
động. Từ đó có động lực, hứng thú không những với chủ đề này mà còn nhiều chủ 
đề khác nữa trong các chủ đề ôn thi tốt nghiệp trung học phổ thông. 
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến 
 Trong thực tế, khi học sinh gặp bài Tương giao đồ thị gặp phải khó khăn sau: 
 - Không nắm vững định nghĩa, các khái niệm, định lý, bài toán liên quan. 
 - Chưa có phương pháp giải quyết vấn đề, chưa có hướng tiếp cận phù hợp cho 
từng dạng toán cụ thể. 
 Từ những thực trạng và nguyên nhân đó, sau đây chúng ta cùng tìm các giải 
pháp giải quyết các vấn đề nêu trên. 
2.3. Các giải pháp sử dụng để giải quyết vấn đề 
 Để thực hiện đề tài này tôi đã tìm đọc rất nhiều tài liệu viết về vấn đề này, 
nghiên cứu hướng giải cho từng dạng toán sao cho phù hợp với học sinh giúp học 
sinh giải quyết bài toán trắc nghiệm nhanh và chính xác. 
 - Nhắc lại kiến thức cơ bản. 
 - Phân dạng, cho ví dụ minh họa và sau mỗi ví dụ có bài tập tự rèn luyện. 
 - Hướng dẫn sử dụng CASIO để giải quyết bài toán. 
 - Sau chủ đề có kiểm tra, đánh giá lại sự tiếp thu kiến thức của học sinh. 
 5 
 2.3.1. Kiến thức cơ bản 
  Cho hai đồ thị hàm số ():()C y f x và (C ) : y g ( x ). Tọa độ giao điểm (nếu 
 y f() x
 có) của ()C và ()C là nghiệm của hệ phương trình: f( x ) g ( x ), * 
 y g() x
 Phương trình * được gọi là phương trình hoành độ điểm chung của ()C và (C ). 
 Số nghiệm của phương trình * chính là số điểm chung của hai đồ thị. 
 Nếu * vô nghiệm thì hai đồ thị không có điểm chung. 
2.3.2. Các dạng toán thường gặp và phương pháp giải 
Dạng 1: Bài toán tương giao đồ thị thông qua đồ thị, bảng biến thiên 
 Bài toán tổng quát: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên hoặc đồ thị. Tìm 
số nghiệm của phương trình af x b 0. 
 b
 Phương pháp: Số giao điểm của đường thẳng y với đồ thị hàm số 
 a
 y f x chính là số nghiệm của phương trình af x b 0. 
 Các ví dụ minh họa 
 Ví dụ 1: [Mã 104-2022] Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau: 
Số giao điểm của đồ thị hàm số đã cho và đường thẳng y 1 là 
 Ⓐ. 2. Ⓑ. 1. Ⓒ. 3. Ⓓ. 0 . 
 Hướng dẫn giải 
 Ta kẻ nhanh đường thẳng y 1 
 Ta thấy, đường thẳng y 1 cắt 
 đồ thị hàm số tại 3 điểm. 
 Chọn đáp án Ⓒ. 
 Ghi nhớ 
 Đường thẳng cắt đồ thị tại 3 điểm cũng chính là số giao điểm cần tìm. 
 6 
  Ví dụ 2: [Mã 101 - 2020 Lần 1] Cho hàm số bậc 
 ba y f x có đồ thị là đường cong trong hình bên. 
 Số nghiệm thực của phương trình f x 1 là 
 Ⓐ. 3. Ⓑ. 1. 
 Ⓒ. 0 . Ⓓ. 2. 
 Hướng dẫn giải 
 Ta kẻ nhanh đường thẳng y 1 như 
 hình bên. 
 Từ hình vẽ đồ thị, ta thấy đường thẳng 
 y 1 cắt đồ thị tại 3 giao điểm. Dó đó 
 phương trình f x 1 có 3 nghiệm 
 thực phân biệt. 
 Chọn đáp án Ⓐ. 
 Ghi nhớ 
 Số nghiệm thực của phương trình chính là số giao điểm của đồ thị 
 hàm số với đường thẳng . 
 Ví dụ 3: Cho hàm số y f x liên tục trên và có bảng biến thiên như sau: 
 x -∞ 3 5 7 +∞
 y' + 0 0 + 0
 5
 3
 y
 1
 -∞ -∞
Phương trình f x 4 có bao nhiêu nghiệm thực? 
 Ⓐ. 4. Ⓑ. 2. Ⓒ. 3. Ⓓ. 0 . 
 Hướng dẫn giải 
Vẽ nhanh đường thẳng y 4 cắt đồ thị hàm số y f x tại 2 giao điểm. 
 Theo bảng biến thiên, phương trình f x 4 có 2 nghiệm thực. 
 Chọn đáp án Ⓑ. 
 7 
  Ví dụ 3: Cho hàm số y f x xác định trên \ 1, liên tục trên mỗi khoảng 
xác định và có bảng biến thiên như sau: 
Số nghiệm thực của phương trình 2f x 4 0 là 
 Ⓐ. 4. Ⓑ. 3. Ⓒ. 2. Ⓓ. 1. 
 Hướng dẫn giải 
Ta có: 2f x 4 0 f x 2 . 
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy đường thẳng y 2 cắt đồ thị hàm số y f x tại 
 2 điểm phân biệt. 
Vậy phương trình 2f x 4 0 có 2 nghiệm phân biệt. 
Chọn đáp án Ⓒ. 
 Ghi nhớ 
 Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị hàm số và 
 đường thẳng . 
  Ví dụ 4: [Mã 101-2022] Cho hàm số 
 f x ax4 bx 2 c có đồ thị là đường cong trong 
 hình bên. Số nghiệm của phương trình f x 1 là 
 Ⓐ. 4. Ⓑ. 3. 
 Ⓒ. 2. Ⓓ. 1. 
 Hướng dẫn giải 
 Kẻ nhanh đường thẳng y 1 như hình. 
 Ta thấy cắt đồ thị y f x tại 2 điểm phân 
 biệt nên phương trình f x 1 có 2 nghiệm 
 phân biệt. 
 Chọn đáp án Ⓒ. 
 8 
 Bài tập rèn luyện 
 Câu 1. Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị là đường 
 cong trong hình bên. Số nghiệm thực của phương trình 
 f x 2 là 
 Ⓐ. 0 . Ⓑ. 3 . 
 Ⓒ Ⓓ
 . 1. . 2 . 
 Câu 2. Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị là đường 
 cong trong hình bên. Số nghiệm thực của phương trình 
 f x 1 là 
 Ⓐ. 1. Ⓑ. 0 . 
 Ⓒ. 2. Ⓓ. 3. 
 Câu 3. Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị là đường 
 cong trong hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình 
 f x 2 là 
 Ⓐ. 0 . Ⓑ. 3. 
 Ⓒ. 1. Ⓓ. 2. 
Câu 4. Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau: 
Số nghiệm thực của phương trình 2f x 3 0 là 
 Ⓐ.2. Ⓑ.1. Ⓒ.4. Ⓓ.3. 
 3 2
 Câu 5. Cho hàm số fx ax bx cx dabcd ,,, . y
 Đồ thị của hàm số y f x như hình vẽ bên. Số nghiệm 2
 thực của phương trình 3f x 4 0 là 
 O 2
 Ⓐ.2. Ⓑ.0 . x
 Ⓒ.1. Ⓓ.3. 2
 9 
 Câu 6. Cho hàm số f x ax4 bx 2 c,,, a b c . 
 Đồ thị của hàm số y f x như hình vẽ bên. 
 Số nghiệm của phương trình 4f x 3 0 là 
 Ⓐ.2. Ⓑ.0 . 
 Ⓒ.4. Ⓓ.3. 
 Câu 7. Cho hàm số y f x liên tục trên  2;2 
 và có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của 
 phương trình 3f x 4 0 trên đoạn  2;2 là 
 Ⓐ.4. Ⓑ.3. 
 Ⓒ.1. Ⓓ.2. 
Câu 8. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau: 
Số nghiệm thực của phương trình 3f x 5 0 là 
 Ⓐ. 3. Ⓑ.4. Ⓒ.0 . Ⓓ.2. 
 Câu 9. Cho hàm số y f x liên tục trên và 
 có đồ thị như hình vẽ. 
 Số nghiệm của phương trình f x 2là 
 Ⓐ.3. Ⓑ.2. 
 Ⓒ.4. Ⓓ.6 . 
Câu 10. Cho hàm số y f x liên tục trên và có bảng biến thiên như sau: 
 x -∞ 3 5 7 +∞
 y' + 0 0 + 0
 5
 3
 y
 1
 -∞ -∞
Phương trình f x 5 có bao nhiêu nghiệm thực? 
 Ⓐ. 4. Ⓑ. 2. Ⓒ. 3. Ⓓ. 1. 
  Bảng đáp án 
 1.B 2.D 3.B 4. C 5. D 6. C 7. B 8. B 9. C 10. D 
 10
 Dạng 2. Bài toán tương giao đồ thị thông qua hàm số cho trước không chứa 
tham số 
 Bài toán: Cho 2 hàm số y f x , y g x có đồ thị lần lượt là (C) và (C’). Tìm 
số giao điểm, hoành độ giao điểm hoặc tung độ giao điểm của hai đồ thị. 
 Phương pháp: 
 . Lập phương trình hoành độ giao điểm của C) và (C’): 
 f x g x , (1) 
 . Giải phương trình (1) tìm x từ đó suy ra y và tọa độ 
 giao điểm. 
 . Số nghiệm của (1) bằng số giao điểm của hai đồ thị 
 y f x , y g x . 
 - Casio: Solve, Table, giải phương trình cơ bản. 
 Các ví dụ minh họa 
 Ví dụ 1: Đồ thị của hàm số y x3 3 x 2 cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 
 Ⓐ. 0. Ⓑ. 1. Ⓒ. 2. Ⓓ. 2 . 
 Hướng dẫn giải 
Gọi M 0; y0 là giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung. Ta có x0 0 y 0 2. 
Chọn đáp án Ⓒ. 
 Ghi nhớ 
 Đồ thị hàm số cắt trục tung thì hoành độ và thế vào hàm số ta 
 tìm tung độ . 
 2x 1
 Ví dụ 2: Số giao điểm của đồ thị hàm số y với đường thẳng y 2 x 3 
 x 1
là 
 Ⓐ. 2. Ⓑ. 3. Ⓒ. 1. Ⓓ.0. 
 Hướng dẫn giải 
 11
 Xét phương trình hoành độ giao điểm: PP nhanh trắc nghiệm 
 2x 1
 2x 3 2x 1 2 x 3 x 1  Casio: Dùng Table hoặc Solve 
 x 1
 ( x 1 không là nghiệm của phương trình) 
 1 33 
 x 
 2 4
 2x x 4 0 . 
 1 33
 x 
 4 
Chọn đáp án Ⓐ. 
 Ta thấy đổi dấu 2 lần. 
 Ví dụ 3: Số giao điểm của đồ thị hàm số y x3 3 x 3 với trục Ox là 
 Ⓐ.2. Ⓑ.3. Ⓒ.0. Ⓓ.1. 
 Hướng dẫn giải 
Ta có y 3 x2 3 0;  x , hàm số PP nhanh trắc nghiệm 
  Casio: Solve 
y f x luôn đồng biến trên . 
 Bảng biến thiên 
 x + 
 y' + Chỉ có 1 nghiệm. 
 + Lưu ý: Trục Ox chính đường 
 y thẳng y 0 . 
 Vậy đồ thị hàm số y x3 3 x 3 và trục Ox 
có 1 giao điểm. 
Chọn đáp án Ⓓ. 
 Ví dụ 4: Biết rằng đường thẳng y 2 x 2 cắt đồ thị hàm số y x3 x 2 
tại điểm duy nhất có tọa độ x0; y 0 . Tìm y0 . 
 Ⓐ. y0 0. Ⓑ. y0 4 . 
 Ⓒ. y0 2 . Ⓓ. y0 1. 
 Hướng dẫn giải 
 12
 Ta có phương trình hoành độ giao điểm: PP nhanh trắc nghiệm 
x3 x 2 2 x 2 x 3 3 x 0  Casio: Solve 
 x x2 3 0 x 0 . Suy ra y 2 . 
Chọn đáp án Ⓒ. 
 Sau khi tìm x thế vào hàm ban 
 đầu tìm y . 
 Ví dụ 5: Cho hàm số y 2 x3 3 x 2 1 có đồ thị C và đường thẳng d : 
y x 1. Tìm số giao điểm của C và d . 
 Ⓐ. 3. Ⓑ. 2. Ⓒ. 0. Ⓓ. 1. 
 Hướng dẫn giải 
Phương trình hoành độ giao điểm C và d : PP nhanh trắc nghiệm 
2x3 3 x 2 1 x 1 2x3 3 x 2 1 x 1 0  Casio: có 3 nghiệm 
 x1 1
 3 2 
 2x 3 x x 2 0 1 17 . 
 x 
 2,3 4 
Phương trình có 3 nghiệm phân biệt nên C 
và d có 3 giao điểm. 
Chọn đáp án Ⓐ. 
 Ví dụ 6: Đường thẳng y x 1 cắt đồ thị hàm số y x4 x 2 1 tại mấy điểm 
phân biệt? 
 Ⓐ. 2. Ⓑ. 4. Ⓒ. 1. Ⓓ. 3. 
 Hướng dẫn giải 
Xét phương trình hoành độ giao điểm: PP nhanh trắc nghiệm 
x4 x 2 1 x 1. 
  Casio: Solve 
 x4 x 2 x 0 x ( x 3 x 1) 0
 x 0
 3 . 
 x x 1 0
Phương trình x3 x 1 0 có nghiệm duy 
nhất khác 0 . 
Vậy đường thẳng y x 1 cắt đồ thị hàm số 
y x4 x 2 1 tại hai điểm phân biệt. 
Chọn đáp án Ⓐ. 
 Ghi nhớ 
 Phương trình hoành độ giao điểm ta đang xét có bao nhiêu nghiệm thì có bấy 
 nhiêu số giao điểm hoặc ngược lại. 
 13
 Bài tập rèn luyện 
Câu 1. Đồ thị hàm số y x4 4 x 2 3 cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 
 Ⓐ.0. Ⓑ.3. Ⓒ.1. Ⓓ. 3. 
Câu 2. Đồ thị hàm số y x3 2 x 2 1 cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 
 Ⓐ. 3. Ⓑ. 1. Ⓒ. 1. Ⓓ. 0. 
Câu 3. Số giao điểm của đồ thị hàm số y x3 3 x 1 và trục hoành là 
 Ⓐ. 3. Ⓑ. 0. Ⓒ. 2. Ⓓ. 1. 
Câu 4. Số giao điểm của đồ thị hàm số y x3 3 x 2 và đồ thị hàm số y 3 x2 3 x 
là 
 Ⓐ. 3. Ⓑ. 1. Ⓒ. 2. Ⓓ. 0. 
 2x 1
Câu 5: Số giao điểm của đồ thị hàm số y với đường thẳng y 2 x 3 là 
 x 1
 Ⓐ. 2. Ⓑ. 3. Ⓒ. 1. Ⓓ. 0. 
Câu 6. Số giao điểm của đồ thị hàm số y x3 7 x với trục hoành là 
 Ⓐ. 0. Ⓑ. 3. Ⓒ. 2. Ⓓ. 1. 
Câu 7. Số giao điểm của đồ thị hàm số y x3 3 x với trục hoành là 
 Ⓐ. 2. Ⓑ. 0. Ⓒ. 3. Ⓓ. 1. 
Câu 8. Biết rằng đường thẳng y 2 x 2 cắt đồ thị hàm số y x3 x 2 tại điểm 
duy nhất; kí hiệu x0; y 0 là tọa độ của điểm đó. Tìm y0 . 
 Ⓐ. y0 4 . Ⓑ. y0 0. Ⓒ. y0 2 . Ⓓ. y0 1. 
 2x 1
Câu 9. Đường thẳng y x 1 cắt đồ thị hàm số y tại các điểm có tọa độ là 
 x 1
 Ⓐ. ( 1;0);(2;1) . Ⓑ. (1;2) . Ⓒ.(0; 1);(2;1) . Ⓓ. (0;2) . 
Câu 10. Cho hàm số y x4 4 x 2 có đồ thị C . Tìm số điểm chung của đồ thị C 
và trục hoành. 
 Ⓐ. 2. Ⓑ. 0. Ⓒ. 3. Ⓓ. 1. 
  Bảng đáp án 
 1. D 2. C 3. A 4. B 5. C 6. B 7. C 8. C 9. C 10. D 
 14
 Dạng 3. Bài toán tương giao đồ thị thông qua hàm số cho trước chứa tham số. 
 1. Tương giao hàm nhất biến với đường thẳng 
  Bài toán tổng quát: Tìm các giá trị của tham số m để để đường thẳng 
 Cx D
 d: y Ax B cắt đồ thị hàm số ():C y tại hai điểm phân biệt thỏa mãn 
 Ex F
điều kiện K . 
  Phương pháp: 
 Cx D
 Bước 1. Lập phương trình hoành độ giao điểm của d và ()C : Ax B
 Ex F
. Biến đổi về dạng phương trình bậc hai g( x ) ax2 bx c 0. 
 Bước 2. Để d cắt ()C tại 2 điểm phân biệt phương trình g( x ) 0 có 2 
 2 
 ag()() x0, g x b 4 ac 0
 F 
nghiệm phân biệt và khác F . Giải hệ m D1 
 E 
 g 0
 E 
 Bước 3. Gọi A( x1 ; Ax 1 B ), B ( x 2 ; Ax 2 B ) là hai tọa độ giao điểm của d và (C ), 
trong đó x1, x 2 là 2 nghiệm của g x 0 . 
 b c
 Theo Vi-ét: S x x và P x x (1) 
 1 2 a 1 2 a
 Bước 4. Biến đổi điều kiện K về dạng tổng và tích của x1, x 2 (2) 
 Thế (1) vào (2) sẽ thu được phương trình hoặc bất phương trình với biến là m. 
 Giải toán tìm được giá trị m D2 
 Kết luận giá trị m D1  D 2 . 
 Lưu ý: 
 Nếu đề bài chỉ yêu cầu tìm tham số m để hai đồ thị cắt nhau tại n điểm, ta chỉ 
cần tìm điều kiện để phương trình hoành độ giao điểm có n nghiệm phân biệt. 
 2. Tương giao hàm số bậc ba với đường thẳng 
  Bài toán tổng quát: Tìm các giá trị của m để để đường thẳng d: y px q 
cắt đồ thị hàm số ():C y ax3 bx 2 cx d tại 3 điểm phân biệt thỏa điều kiện K . 
  Phương pháp: 
 Bước 1. Phương trình hoành độ giao điểm ax3 bx 2 cx d px q 
 2 x x 0
  d q thì PT x ( ax bx c p ) 0  
 2
 g( x ) ax bx c p 0
 15
  d q, ta đưa về phương trình bậc ba và nhẩm nghiệm đặc biệt x x 
và chia Hoóc-ner thì phương trình tương đương: 
 x x 
 (x x )( ax2 b x c ) 0  
 2
 g( x ) ax b x c 0
 Bước 2. Để d cắt ()C tại ba điểm phân biệt phương trình g( x ) 0 có 2 
 g() x 0
nghiệm phân biệt khác x . Giải hệ này, tìm được giá trị m D . 
 1
 g( x ) 0
 Bước 3. Gọi Axpx(;o o q ), Bxpx(;1 1 q ), Cxpx(; 2 2 q ) với x1, x 2 là hai nghiệm 
của phương trình g( x ) 0. 
 b c 
 Theo Vi-ét, ta có: x x và x x (1) 
 1 2 a 1 2 a
 Bước 4. Biến đổi điều kiện K về dạng tổng và tích của x1, x 2 (2) 
 Thế (1) vào (2) sẽ thu được phương trình hoặc bất phương trình với biến là m. 
Giải chúng sẽ tìm được giá trị m D2 . 
 Kết luận: m D1  D 2 . 
 Nguyên tắc nhẩm nghiệm: Nếu phương trình chứa tham số, ta sẽ chọn nghiệm 
 x sao cho triệt tiêu đi tham số m và thử lại tính đúng saioặc có thể sử dụng Casio. 
 3. Tương giao hàm trùng phương với đường thẳng 
  Bài toán tổng quát: Tìm m để đường thẳng d: y cắt đồ thị 
 ():C y ax4 bx 2 c tại n điểm phân biệt thỏa mãn điều kiện K cho trước. 
  Phương pháp: 
 Bước 1. Phương trình hoành độ giao điểm d và ()C : ax4 bx 2 c 0 (1) 
 Đặt t x2 0 thì (1) at2 bt c 0 (2) 
 Tùy vào số giao điểm n mà ta biện luận để tìm giá trị m D1 Cụ thể: 
  Để d( C ) n 4 điểm phân biệt (1) có 4 nghiệm phân biệt 
 0
 (2) có 2 nghiệm t1, t 2 dương 0 t1 t 2 S 0 m D 1 
 P 0
  Để d( C ) n 3 điểm phân biệt (1) có 3 nghiệm phân biệt 
 c 0
 (2) có nghiệm t1, t 2 thỏa: 0 t1 t 2 b m D 1 
 0
 a
  Để d( C ) n 2 điểm phân biệt (1) có 2 nghiệm phân biệt 
 16
 (2) có 2 nghiệm trái dấu hoặc có nghiệm kép dương 
 ac 0
 0 m . 
 D1
 S 0
  Để d( C ) n 1 điểm (1) có đúng 1 nghiệm (2) có nghiệm 
 c 0
 t 0 0 
 kép 0 hoặc 1  m D 
 b 1
 t2 0 c 0 0
 a
 Bước 2. Biến đổi điều kiện K về dạng có chứa tổng và tích của t1, t 2 (3) 
 Thế biểu thức tổng, tích vào (3) sẽ thu được phương trình hoặc bất phương trình 
với biến số là m. Giải chúng ta sẽ tìm được m D2 
 Kết luận: m D1  D 2 . 
 Các ví dụ minh họa 
  Ví dụ 1: Cho hàm số y x4 2 x 2 3 có đồ thị hàm 
 số như hình bên. Với giá trị nào của tham số m 
 phương trình x4 2 x 2 3 2 m 4 có hai nghiệm phân 
 biệt? 
 m 0
 1
 Ⓐ. 1 . Ⓑ.0 m . 
 m 2
 2
 m 0 1
 Ⓒ. 1 . Ⓓ. m . 
 m 2
 2
 Hướng dẫn giải 
 Số nghiệm của phương trình x4 2 x 2 3 2 m 4 PP nhanh trắc nghiệm 
 bằng số giao điểm của đường thẳng y 2 m 4 và 
  Casio: Thay m vào máy 
 đồ thị hàm số y x4 2 x 2 3. 
 Dựa vào đồ thị ta có phương trình tính fx-580vnx, cho m 1. 
 x4 2 x 2 3 2 m 4 có hai nghiệm phân biệt khi 
và chỉ khi 
 m 0 
 2m 4 4 
 1 . 
 2m 4 3 m 
 2
 Chọn đáp án Ⓐ. 
 Ví dụ 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 
 y x4 m 1 x 2 m cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. 
 Ⓐ. 0; . Ⓑ. 0; \{1}. Ⓒ. 0; . Ⓓ. 0; \ 1. 
 Hướng dẫn giải 
 17
 Xét phương trình hoành độ giao điểm: PP nhanh trắc nghiệm 
 x4 m 1 x 2 m 0 . (1)  Casio: thay m lần lượt từ 4 
 4 2 2 đáp án vào máy fx-580vnx. 
 x mx x m 0 
 2 2 2 Đáp án nào có 4 nghiệm thì 
 x x m x m 0 
 chọn. Giả sử cho m 2 thay 
 2
 2 2 x 1
 x m x 1 0 . vào chỉ có 2 nghiệm nên loại 
 2
 x m đáp án A, C. 
 Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân 
 biệt khi phương trình x2 m có hai nghiệm 
 m 0
 phân biệt khác 1 . 
 m 1
Chọn đáp án Ⓑ. 
 Tiếp tục thay m 0 để loại B 
 hoặc C. Chỉ có 3 nghiệm 1;0 
 nên loại C. 
 Ví dụ 3: Tìm m để đồ thị hàm số y x3 3 x 2 m cắt trục hoành tại 3 điểm 
phân biệt? 
 Ⓐ. m 4 . Ⓑ. m  4;0. Ⓒ. m 4;0 . Ⓓ. m 0. 
 Hướng dẫn giải 
Tập xác định: D . PP nhanh trắc nghiệm 
 2
y 3 x 6 x .  Casio: Thay m lần lượt 
Bảng biến thiên: thuộc 4 đáp án vào máy fx-
 580vnx. Đáp án nào có 3 
 nghiệm thì chọn. 
Yêu cầu bài toán thỏa khi và chỉ khi 
 m 0
 4 m 0. 
 m 4 0
Chọn đáp án Ⓒ. 
 18
  Ví dụ 4: Tập tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y x m cắt đồ 
 x 2
thị hàm số y tại hai điểm phân biệt là 
 x 1
 Ⓐ. . Ⓑ. 2; . Ⓒ. ;3 . Ⓓ. 2;3 . 
 Hướng dẫn giải 
 x 2
Phương trình hoành độ giao điểm: x m x2 m 2 x m 2 0, x 1 
 x 1
Đặt f x x2 m 2 x m 2 . 
 x 2
Để đường thẳng y x m cắt đồ thị hàm số y tại hai điểm phân biệt, thì 
 x 1
phương trình f x 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1. 
 2 2
 0 m 2 4 m 2 0 m 12 0
 ;. m 
 f 1 0 2 
 1 m 2 m 2 0 3 0
Chọn đáp án Ⓐ. 
 Bài tập rèn luyện 
Câu 1: Tìm m để đồ thị của hàm số y x4 2 mx 2 m cắt trục hoành tại bốn điểm 
phân biệt. 
 Ⓐ. m 0. Ⓑ. m 1. 
 Ⓒ. m 1. Ⓓ. m 0 hoặc m 1. 
Câu 2: Cho hàm số y x4 m 1 x 2 m 2 . Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục 
hoành tại 4 điểm phân biệt. 
 Ⓐ. m 1; . Ⓑ. m 2; . 
 Ⓒ. m 2; \ 3. Ⓓ. m 2;3 . 
Câu 3: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y m cắt đồ thị hàm 
số y x4 2 x 2 tại 4 điểm phân biệt. 
 Ⓐ. m 0. Ⓑ. 0 m 1. Ⓒ. 1 m 0 . Ⓓ. m 0. 
Câu 4: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y 2 x m cắt đồ 
 x 3
thị của hàm số y tại hai điểm phân biệt. 
 x 1
 Ⓐ. m ; . Ⓑ. m 1; . 
 Ⓒ. m 2;4 . Ⓓ.m ; 2 . 
 19
 x 2
Câu 5: Cho hàm số y có đồ thị ()C và đường thẳng d: y x m với m 
 x 1
là tham số. Tìm tất cả các giá trị của m để d cắt ()C tại hai điểm phân biệt. 
 m 2
 Ⓐ. . Ⓑ.m 2 . 
 m 2
 m 2
 Ⓒ. . Ⓓ. 2 m 2 . 
 m 2
Câu 6: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đường thẳng y x m cắt 
 x 2
đồ thị hàm số y tại hai điểm phân biệt A, B sao cho OA OB 4. 
 x 1
 Ⓐ. 2. Ⓑ. 1. Ⓒ. 0 . Ⓓ. 3. 
 x 1
Câu 7: Tìm m để đường thẳng y mx 1 cắt đồ thị y tại 2 điểm phân biệt 
 x 1
thuộc hai nhánh đồ thị. 
 1 
 Ⓐ. m ;0 . Ⓑ. m ; \ 0. 
 4 
 Ⓒ. m 0; . Ⓓ.m 0 . 
Câu 8: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x3 3 x 2 2 m có ba 
nghiệm phân biệt. 
 Ⓐ. m 2; . Ⓑ. m ; 2. 
 Ⓒ. m 2;2 . Ⓓ. m  2;2. 
 x 3
Câu 9: Cho đường cong C : y và đường thẳng d: y x 3 m . Tìm tất cả 
 x 1
các giá trị của m để d và C cắt nhau tại hai điểm phân biệt AB, sao cho trung 
điểm I của đoạn thẳng AB có hoành độ bằng 3. 
 Ⓐ. m 0 . Ⓑ. m 1. Ⓒ. m 1. Ⓓ.m 2. 
Câu 10: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y m cắt đồ thị hàm 
số y x3 6 x 2 tại ba điểm phân biệt. 
 m 16
 Ⓐ. . Ⓑ. 32 m 0. 
 m 0
 Ⓒ. 0 m 32. Ⓓ. 0 m 16. 
  Bảng đáp án 
 1. B 2. C 3. C 4. A 5. A 6. A 7. C 8. C 9. D 10. C 
 20