Bài giảng môn Toán Lớp 9 - Luyện tập Tứ giác nội tiếp - Nguyễn Duy Tiến

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
CHƯƠNG TRÌNH DẠY HỌC TRÊN TRUYỀN HÌNH
 MÔN TOÁN 9 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
 LUYỆN TẬP 
 TỨ GIÁC NỘI TIẾP
 GVGD: ThS. NGUYỄN DUY TIẾN
TRƯỜNG THCS NGHĨA TÂN, QUẬN CẦU GIẤY TÓM TẮT NỘI DUNG KIẾN THỨC
I) TÍNH CHẤT
 +) Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo 
 hai góc đối bằng 1800 TÓM TẮT NỘI DUNG KIẾN THỨC
I) TÍNH CHẤT
 +) Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo 
 hai góc đối bằng 1800
 +) Các tính chất về góc với đường tròn đã 
 học
 Ví dụ: TÓM TẮT NỘI DUNG KIẾN THỨC
II) DẤU HIỆU NHẬN BIẾT 
 1) Tứ giác có tổng số đo 
 hai góc đối bằng 1800 
 2) Tứ giác có hai đỉnh kề nhau TỨ GIÁC 
 cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh NỘI TIẾP
 còn lại dưới một góc bằng 
 nhau
 3) Tứ giác có góc ngoài tại một 
 đỉnh bằng góc trong tại đỉnh 
 đối của đỉnh đó
 4) Tồn tại một điểm cách đều 
 bốn đỉnh của tứ giác TÓM TẮT NỘI DUNG KIẾN THỨC
 1) Tứ giác có tổng số đo 
 hai góc đối bằng 1800 
2) Tứ giác có hai đỉnh kề nhau TỨ GIÁC 
cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh NỘI TIẾP
còn lại dưới một góc bằng 
nhau
 3) Tứ giác có góc ngoài tại một 
 đỉnh bằng góc trong tại đỉnh 
 đối của đỉnh đó
 4) Tồn tại một điểm cách đều 
 bốn đỉnh của tứ giác Bài 1. Cho tam giác ABC có . Các điểm O, I lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác. Chứng 
minh: Bốn điểm B, O, I, C cùng thuộc một đường tròn. 
Nhận xét: 
+) Xét đường tròn (O), có: 
 (góc nội tiếp và góc ở tâm 
 cùng chắn cung BC)
 mà (gt) Bài 1. Cho tam giác ABC có . Các điểm O, I lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác. Chứng 
minh: Bốn điểm B, O, I, C cùng thuộc một đường tròn. 
 (cmt)
 (gt) Bài 1. Cho tam giác ABC có . Các điểm O, I lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác. Chứng 
minh: Bốn điểm B, O, I, C cùng thuộc một đường tròn. 
+) Xét đường tròn (O), có: 
 (góc nội tiếp và góc ở tâm 
 cùng chắn cung BC)
 mà (gt)
+) Xét tam giác ABC, có: 
 (định lý tổng ba góc 
 trong tam giác)
 mà (gt) Bài 1. Cho tam giác ABC có . Các điểm O, I lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác. Chứng 
minh: Bốn điểm B, O, I, C cùng thuộc một đường tròn. 
+) Xét tam giác IBC, có: 
 (định lý tổng ba góc 
 trong tam giác)
 mà (cmt)
+) Xét tứ giác BIOC, có: 
 (cmt)
 Mà I và O là hai đỉnh kề nhau cùng nhìn BC
 Tứ giác BIOC nội tiếp (dhnb)
 Bốn điểm B, O, I, C cùng thuộc một đường tròn (đpcm) Bài 2. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, đường kính AD. Gọi E là giao điểm của hai đường 
chéo AC và BD, H là hình chiếu vuông góc của E trên AD. 
1) Chứng minh: Tứ giác ABEH nội tiếp
 +) Vì H là hình chiếu vuông góc của E trên AD (gt)
 +) Vì ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AD (gt)
 B thuộc đường tròn đường kính AD
 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
 +) Xét tứ giác ABEH, có:
 (vì )
 Mà hai góc này đối nhau 
 Tứ giác ABEH nội tiếp (dhnb) Bài 2. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, đường kính AD. Gọi E là giao điểm của hai đường 
chéo AC và BD, H là hình chiếu vuông góc của E trên AD. 
2) Chứng minh: BD là tia phân giác của 
 (2 góc nội tiếp cùng 
 chắn cung CD)
 Tứ giác ABEH nội tiếp 
 (cm câu 1) Bài 2. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, đường kính AD. Gọi E là giao điểm của hai đường 
chéo AC và BD, H là hình chiếu vuông góc của E trên AD. 
2) Chứng minh: BD là tia phân giác của 
 +) Vì tứ giác ABEH nội tiếp (cm a)
 Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABEH, có:
 (2 góc nội tiếp cùng chắn cung EH)
 +) Xét (O), có: 
 (2 góc nội tiếp cùng chắn cung CD)
 +) Từ và 
 BD là tia phân giác của Bài 2. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, đường kính AD. Gọi E là giao điểm của hai đường 
chéo AC và BD, H là hình chiếu vuông góc của E trên AD. 
3) Gọi I là trung điểm của ED. Chứng minh: Tứ giác BHOI nội tiếp
 Tứ giác ABEH nội tiếp IO // AE
 (cm câu 1)
 IO là đường trung bình 
 của tam giác AED 
 I là trung điểm của ED (gt)
 O là trung điểm của AD (gt) Bài 2. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, đường kính AD. Gọi E là giao điểm của hai đường 
chéo AC và BD, H là hình chiếu vuông góc của E trên AD. 
3) Gọi I là trung điểm của ED. Chứng minh: Tứ giác BHOI nội tiếp
 +) Vì tứ giác ABEH nội tiếp (cm a)
 (2 góc nội tiếp cùng chắn cung EH)
 +) Xét AED, có:
 I là trung điểm của ED (gt)
 O là trung điểm của AD (gt)
 IO là đường trung bình của AED 
 IO // AE (tính chất)
 (2 góc đồng vị)
 +) Từ và 
 là góc ngoài tại đỉnh O của tứ giác BHOI Tứ giác BHOI nội tiếp (dhnb)
 B và O là hai đỉnh đối nhau Bài 2. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, đường kính AD. Gọi E là giao điểm của hai đường 
chéo AC và BD, H là hình chiếu vuông góc của E trên AD. 
3) Gọi I là trung điểm của ED. Chứng minh: Tứ giác BHOI nội tiếp
3.1) Gọi I là trung điểm của ED. Chứng minh: DO.DH = DI. DB
 Chung góc ADB
 Tứ giác BHOI nội tiếp Bài 2. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, đường kính AD. Gọi E là giao điểm của hai đường 
chéo AC và BD, H là hình chiếu vuông góc của E trên AD. 
3) Gọi I là trung điểm của ED. Chứng minh: Tứ giác BHOI nội tiếp
 Mở rộng: 
 Chứng minh: Năm điểm B, H, O, I, C cùng nằm trên 
 một đường tròn
 Bốn điểm B, H, O, I cùng Bốn điểm C, H, O, I cùng 
 thuộc một đường tròn thuộc một đường tròn
 Tứ giác BHOI nội tiếp Tứ giác CIOH nội tiếp Bài 2. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, đường kính AD. Gọi E là giao điểm của hai đường 
chéo AC và BD, H là hình chiếu vuông góc của E trên AD. 
4) Kéo dài BH cắt (O) tại K. Chứng minh: C đối xứng với K qua AD
 (gt)
 (2 góc nội tiếp cùng 
 chắn cung AK)
 Tứ giác ABEH nội tiếp
 (cm câu 1) Bài 2. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, đường kính AD. Gọi E là giao điểm của hai đường 
chéo AC và BD, H là hình chiếu vuông góc của E trên AD. 
4) Kéo dài BH cắt (O) tại K. Chứng minh: C đối xứng với K qua AD
 +) Vì tứ giác ABEH nội tiếp (cm a)
 Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABEH, có:
 (2 góc nội tiếp cùng chắn cung AH)
 +) Xét (O), có: 
 (2 góc nội tiếp cùng chắn cung AK)
 +) Từ và 
 Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị
 (dhnb)
 mà 
 (gt) (quan hệ từ song song 
 đến vuông góc) Bài 2. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, đường kính AD. Gọi E là giao điểm của hai đường 
chéo AC và BD, H là hình chiếu vuông góc của E trên AD. 
4) Kéo dài BH cắt (O) tại K. Chứng minh: C đối xứng với K qua AD
 +) Xét (O), có: 
 (cmt)
 AD là đường kính, CK là dây cung
 AD đi qua trung điểm của CK (quan hệ giữa 
 đường kính và dây của đường tròn)
 (cmt)
 AD là đường trung trực của CK
 C đối xứng với K qua AD (đpcm)