Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 9

 www.VNMATH.com
 www.vnmath.com 
 CHUYÊN ĐỀ 1 : ĐA THỨC 
B. CÁC PHƯƠNG PHÁP VÀ BÀI TẬP: 
I. TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ: 
* Định lí bổ sung: 
+ Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ thì có dạng p/q trong đó p là ước của hệ số tự do, q là ước 
dương của hệ số cao nhất 
+ Nếu f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì f(x) có một nhân tử là x – 1 
+ Nếu f(x) có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử 
bậc lẻ thì f(x) có một nhân tử là x + 1 
 f(1) f(-1)
+ Nếu a là nghiệm nguyên của f(x) và f(1); f(- 1) khác 0 thì và đều là số 
 a - 1 a + 1
nguyên. Để nhanh chóng loại trừ nghiệm là ước của hệ số tự do 
1. Ví dụ 1: 3x2 – 8x + 4 
Cách 1: Tách hạng tử thứ 2 
3x2 – 8x + 4 = 3x2 – 6x – 2x + 4 = 3x(x – 2) – 2(x – 2) = (x – 2)(3x – 2) 
Cách 2: Tách hạng tử thứ nhất: 
3x2 – 8x + 4 = (4x2 – 8x + 4) - x2 = (2x – 2)2 – x2 = (2x – 2 + x)(2x – 2 – x) 
= (x – 2)(3x – 2) 
2. Ví dụ 2: x3 – x2 - 4 
Ta nhân thấy nghiệm của f(x) nếu có thì x = 1; 2; 4 , chỉ có f(2) = 0 nên x = 2 là nghiệm 
của f(x) nên f(x) có một nhân tử là x – 2. Do đó ta tách f(x) thành các nhóm có xuất hiện 
một nhân tử là x – 2 
 3 2
Cách 1: x - x – 4 = x32 2x x 2 2x 2x 4 x2 x 2 x(x 2) 2(x 2) 
 = x2x 2 x2 
Cách 2: xx4x8x4x832 3 2 3 x4 2 
 (x 2)(x2 2x 4) (x 2)(x 2)= 22 
 x 2 x 2x 4 (x 2) (x 2)(x x 2)
3. Ví dụ 3: f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – 5 
Nhận xét: 1, 5 không là nghiệm của f(x), như vậy f(x) không có nghiệm nguyên. Nên 
f(x) nếu có nghiệm thì là nghiệm hữu tỉ 
 1
Ta nhận thấy x = là nghiệm của f(x) do đó f(x) có một nhân tử là 3x – 1. Nên 
 3
f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – 5 = 3x32 x 6x 2 2x 15x 5 3x32 x 6x 2 2x 15x 5 
 = x22 (3x 1) 2x(3x 1) 5(3x 1) (3x 1)(x 2x 5) 
Vì x2x5(x2x1)4(x1)4022 2 với mọi x nên không phân tích được 
thành nhân tử nữa 
4. Ví dụ 4: x3 + 5x2 + 8x + 4 
Nhận xét: Tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử 
bậc lẻ nên đa thức có một nhân tử là x + 1 
x3 + 5x2 + 8x + 4 = (x3 + x2 ) + (4x2 + 4x) + (4x + 4) = x2(x + 1) + 4x(x + 1) + 4(x + 1) 
 2 www.VNMATH.com
 www.vnmath.com 
 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2
A = x (y + 2 + 6y + 7) = x (y + 3) = (xy + 3x) = [x(x - ) + 3x] = (x + 3x – 1) 
 x
* Chú ý: Ví dụ trên có thể giải bằng cách áp dụng hằng đẳng thức như sau: 
A = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1 = x4 + (6x3 – 2x2 ) + (9x2 – 6x + 1 ) 
 = x4 + 2x2(3x – 1) + (3x – 1)2 = (x2 + 3x – 1)2 
3. Ví dụ 3: A = (x222 y z )(x y z)2 (xy yz+zx)2 
 222 222 2
= (x y z ) 2(xy yz+zx) (x y z ) (xy yz+zx) 
Đặt xyz222 = a, xy + yz + zx = b ta có 
A = a(a + 2b) + b2 = a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 = ( x222 yz + xy + yz + zx)2 
4. Ví dụ 4: B = 2()()2()()()x4 yz 44 xyz 2 2222 xyzxyz 22 2 xyz4 
Đặt x4 + y4 + z4 = a, x2 + y2 + z2 = b, x + y + z = c ta có: 
B = 2a – b2 – 2bc2 + c4 = 2a – 2b2 + b2 - 2bc2 + c4 = 2(a – b2) + (b –c2)2 
Ta lại có: a – b2 = - 2( x22yyzzx 22 22) và b –c2 = - 2(xy + yz + zx) Do đó: 
B = - 4( xy22 yz 22 zx 22) + 4 (xy + yz + zx)2 
 4x22 y 4y 22 z 4z 22 x 4x 22 y 4y 22 z 4z 22 x 8x 2 yz 8xy 2 z 8xyz 2
 8xyz(x y z)
5. Ví dụ 5: (a b c)3333 4(a b c ) 12abc 
Đặt a + b = m, a – b = n thì 4ab = m2 – n2 
 22
 a3 + b3 = (a + b)[(a – b)2 + ab] = m(n2 + m - n ). Ta có: 
 4
 m32 + 3mn
C = (m + c)3 – 4. 4c322 3c(m - n ) = 3( - c3 +mc2 – mn2 + cn2) 
 4
= 3[c2(m - c) - n2(m - c)] = 3(m - c)(c - n)(c + n) = 3(a + b - c)(c + a - b)(c - a + b) 
IV. PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH: 
1. Ví dụ 1: x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3 
Nhận xét: các số 1, 3 không là nghiệm của đa thức, đa thức không có nghiệm nguyên 
củng không có nghiệm hữu tỉ 
Như vậy nếu đa thức phân tích được thành nhân tử thì phải có dạng 
(x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd 
 ac 6
 ac b d 12
đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho ta có: 
 ad bc 14
 bd 3
Xét bd = 3 với b, d Z, b 1, 3 với b = 3 thì d = 1 hệ điều kiện trên trở thành 
 ac 6
 ac 8 2c 8 c 4
 a3c14ac8 a 2
 bd 3
Vậy: x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3 = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1) 
 4 www.VNMATH.com
 www.vnmath.com 
 CHUYÊN ĐỀ 2 - LUỸ THỪA BẬC N CỦA MỘT NHỊ THỨC 
B. KIẾN THỨC VÀ BÀI TẬP VẬN DỤNG: 
I. Một số hằng đẳng thức tổng quát: 
1. an - bn = (a - b)(an - 1 + an - 2 b + an - 3 b2 +  + abn - 2 + bn - 1 ) 
2. an + bn = (a + b) ( an - 1 - an - 2b + an - 3b2 -  - abn - 2 + bn - 1 ) 
 n n 1 n - 1 2 n - 2 2 n 1 n - 1 n
3. Nhị thức Niutơn: (a + b) = a + Cn a b + Cn a b + + Cn ab + b 
 n(n - 1)(n - 2)...[n - (k - 1)]
Trong đó: C k : Tổ hợp chập k của n phần tử 
 n 1.2.3...k
II. Cách xác định hệ số của khai triển Niutơn: 
 n(n - 1)(n - 2)...[n - (k - 1)]
1. Cách 1: Dùng công thức C k 
 n k !
 7.6.5.4 7.6.5.4
Chẳng hạn hệ số của hạng tử a4b3 trong khai triển của (a + b)7 là C 4 35 
 7 4! 4.3.2.1
 n ! 7! 7.6.5.4.3.2.1
Chú ý: a) C k với quy ước 0! = 1 C 4 35 
 n n!(n - k) ! 7 4!.3! 4.3.2.1.3.2.1
 7.6.5.
 b) Ta có: C k = C k - 1 nên C 43 C 35 
 n n 773!
2. Cách 2: Dùng tam giác Patxcan 
 Đỉnh 1 
 Dòng 1(n = 1) 1 1 
 Dòng 2(n = 1) 1 2 1 
 Dòng 3(n = 3) 1 3 3 1 
 Dòng 4(n = 4) 1 4 6 4 1 
 Dòng 5(n = 5) 1 5 10 10 5 1 
 Dòng 6(n = 6) 1 6 15 20 15 6 1 
Trong tam giác này, hai cạnh bên gồm các số 1; dòng k + 1 được thành lập từ dòng k 
 (k 1), chẳng hạn ở dòng 2 (n = 2) ta có 2 = 1 + 1, dòng 3 (n = 3): 3 = 2 + 1, 3 = 1 + 2 
dòng 4 (n = 4): 4 = 1 + 3, 6 = 3 + 3, 4 = 3 + 1,  
Với n = 4 thì: (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 
Với n = 5 thì: (a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5 
Với n = 6 thì: (a + b)6 = a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2 b4 + 6ab5 + b6 
3. Cách 3: 
Tìm hệ số của hạng tử đứng sau theo các hệ số của hạng tử đứng trước: 
a) Hệ số của hạng tử thứ nhất bằng 1 
b) Muốn có hệ số của của hạng tử thứ k + 1, ta lấy hệ số của hạng tử thứ k nhân với số 
mũ của biến trong hạng tử thứ k rồi chia cho k 
 4 4 1.4 3 4.3 2 2 4.3.2 3 4.3.2. 5
Chẳng hạn: (a + b) = a + a b + a b + ab + b 
 1 2 2.3 2.3.4
Chú ý rằng: các hệ số của khai triển Niutơn có tính đối xứng qua hạng tử đứng giữa, nghĩa 
là các hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối có hệ số bằng nhau 
(a + b)n = an + nan -1b + n(n - 1) an - 2b2 + + n(n - 1) a2bn - 2 + nan - 1bn - 1 + bn 
 1.2 1.2
 6 www.VNMATH.com
 www.vnmath.com 
 CHUYÊN ĐỀ 3 - CÁC BÀI TOÁN VỀ SỰ CHIA HẾT CỦA SỐ 
 NGUYÊN 
B.KIẾN THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN: 
I. Dạng 1: Chứng minh quan hệ chia hết 
1. Kiến thức: 
* Để chứng minh A(n) chia hết cho một số m ta phân tích A(n) thành nhân tử có một 
nhân tử làm hoặc bội của m, nếu m là hợp số thì ta lại phân tích nó thành nhân tử có các 
đoi một nguyên tố cùng nhau, rồi chứng minh A(n) chia hết cho các số đó 
* Chú ý: 
+ Với k số nguyên liên tiếp bao giờ củng tồn tại một bội của k 
+ Khi chứng minh A(n) chia hết cho m ta xét mọi trường hợp về số dư khi chia A(n) cho 
m 
+ Với mọi số nguyên a, b và số tự nhiên n thì: 
 +) an - bn chia hết cho a - b (a - b) +) (a + 1)n là BS(a )+ 1 
 2n + 1 2n + 1 2n
 +) a + b chia hết cho a + b +)(a - 1) là B(a) + 1 
2.+ Bài (a + t ậb)p:n = B(a) + bn +) (a - 1)2n + 1 là B(a) - 1 
2. Các bài toán 
Bài 1: chứng minh rằng 
a) 251 - 1 chia hết cho 7 b) 270 + 370 chia hết cho 13 
c) 1719 + 1917 chi hết cho 18 d) 3663 - 1 chia hết cho 7 nhưng không chia hết cho 
37 
e) 24n -1 chia hết cho 15 với n N 
Giải 
 51 3 17 3
a) 2 - 1 = (2 ) - 1  2 - 1 = 7 
 70 70 2 35 2 35 35 35
b) 2 + 3 (2 ) + (3 ) = 4 + 9  4 + 9 = 13 
c) 1719 + 1917 = (1719 + 1) + (1917 - 1) 
 19 17 19 17
17 + 1  17 + 1 = 18 và 19 - 1  19 - 1 = 18 nên (17 + 1) + (19 - 1) 
 19 17
hay 17 + 19  18 
 63
d) 36 - 1  36 - 1 = 35  7 
 3663 - 1 = (3663 + 1) - 2 chi cho 37 dư - 2 
 4n 4 n 4
e) 2 - 1 = (2 ) - 1  2 - 1 = 15 
Bài 2: chứng minh rằng 
a) n5 - n chia hết cho 30 với n N ; 
b) n4 -10n2 + 9 chia hết cho 384 với mọi n lẻ n Z 
 n
c) 10 +18n -28 chia hết cho 27 với n N ; 
Giải: 
a) n5 - n = n(n4 - 1) = n(n - 1)(n + 1)(n2 + 1) = (n - 1).n.(n + 1)(n2 + 1) chia hết cho 6 vì 
(n - 1).n.(n+1) là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3 (*) 
Mặt khác n5 - n = n(n2 - 1)(n2 + 1) = n(n2 - 1).(n2 - 4 + 5) = n(n2 - 1).(n2 - 4 ) + 5n(n2 - 1) 
 = (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) + 5n(n2 - 1) 
Vì (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 5 
 8 www.VNMATH.com
 www.vnmath.com 
d) Nếu a + b + c chia hết cho 6 thì a3 + b3 + c3 chia hết cho 6 
e) 20092010 không chia hết cho 2010 
f) n2 + 7n + 22 không chia hết cho 9 
Dạng 2: Tìm số dư của một phép chia 
Bài 1: 
Tìm số dư khi chia 2100 
a)cho 9, b) cho 25, c) cho 125 
Giải 
a) Luỹ thừa của 2 sát với bội của 9 là 23 = 8 = 9 - 1 
Ta có : 2100 = 2. (23)33 = 2.(9 - 1)33 = 2.[B(9) - 1] = B(9) - 2 = B(9) + 7 
Vậy: 2100 chia cho 9 thì dư 7 
b) Tương tự ta có: 2100 = (210)10 = 102410 = [B(25) - 1]10 = B(25) + 1 
Vậy: 2100 chia chop 25 thì dư 1 
c)Sử dụng công thức Niutơn: 
 100 50 50 49 50.49 2
2 = (5 - 1) = (5 - 5. 5 +  + . 5 - 50 . 5 ) + 1 
 2
Không kể phần hệ số của khai triển Niutơn thì 48 số hạng đầu đã chứa thừa số 5 với số mũ 
 50.49
lớn hơn hoặc bằng 3 nên đều chia hết cho 53 = 125, hai số hạng tiếp theo: . 52 - 50.5 
 2
cũng chia hết cho 125 , số hạng cuối cùng là 1 
Vậy: 2100 = B(125) + 1 nên chia cho 125 thì dư 1 
Bài 2: 
Viết số 19951995 thành tổng của các số tự nhiên . Tổng các lập phương đó chia cho 6 thì dư 
bao nhiêu? 
Giải 
 1995
Đặt 1995 = a = a1 + a2 + + an. 
 33 3 3 33 3 3
Gọi S a12 a + a 3 + ...+ a n = a12 a + a 3 + ...+ a n + a - a 
 3 3 3
 = (a1 - a1) + (a2 - a2) + + (an - an) + a 
Mỗi dấu ngoặc đều chia hết cho 6 vì mỗi dấu ngoặc là tích của ba số tự nhiên liên tiếp. Chỉ 
cần tìm số dư khi chia a cho 6 
1995 là số lẻ chia hết cho 3, nên a củng là số lẻ chia hết cho 3, do đó chia cho 6 dư 3 
Bài 3: Tìm ba chữ số tận cùng của 2100 viết trong hệ thập phân 
giải 
Tìm 3 chữ số tận cùng là tìm số dư của phép chia 2100 cho 1000 
Trước hết ta tìm số dư của phép chia 2100 cho 125 
Vận dụng bài 1 ta có 2100 = B(125) + 1 mà 2100 là số chẵn nên 3 chữ số tận cùng của nó chỉ 
có thể là 126, 376, 626 hoặc 876 
Hiển nhiên 2100 chia hết cho 8 vì 2100 = 1625 chi hết cho 8 nên ba chữ số tận cùng của nó 
chia hết cho 8 
trong các số 126, 376, 626 hoặc 876 chỉ có 376 chia hết cho 8 
Vậy: 2100 viết trong hệ thập phân có ba chữ số tận cùng là 376 
Tổng quát: Nếu n là số chẵn không chia hết cho 5 thì 3 chữ số tận cùng của nó là 376 
Bài 4: Tìm số dư trong phép chia các số sau cho 7 
a) 2222 + 5555 b)31993 
 10 www.VNMATH.com
 www.vnmath.com 
+ n2 - n + 1 = -1 n2 - n + 2 = 0 (Vô nghiệm) 
Bài 3: Tìm số nguyên n sao cho: 
 2 3 2
a) n + 2n - 4  11 b) 2n + n + 7n + 1  2n - 1 
 4 3 2 4 3 2 2
c) n - 2n + 2n - 2n + 1  n - 1 d) n - n + 2n + 7  n + 1 
Giải 
a) Tách n2 + 2n - 4 thành tổng hai hạng tử trong đó có một hạng tử là B(11) 
 2 2
n + 2n - 4  11 (n - 2n - 15) + 11  11 (n - 3)(n + 5) + 11  11 
 n 31 1 n = B(11) + 3
 (n - 3)(n + 5)  11 
 n + 5  1 1 n = B(11) - 5
b) 2n3 + n2 + 7n + 1 = (n2 + n + 4) (2n - 1) + 5 
 2n 1 = - 5 n = - 2
 2n 1 = -1 n = 0
Để 2n3 + n2 + 7n + 1 2n - 1 thì 5 2n - 1 hay 2n - 1 là Ư(5) 
   2n 1 = 1 n = 1
 2n 1 = 5 n = 3
 3 2
Vậy: n 2; 0; 1; 3  thì 2n + n + 7n + 1  2n - 1 
 4 3 2 4
c) n - 2n + 2n - 2n + 1  n - 1 
Đặt A = n4 - 2n3 + 2n2 - 2n + 1 = (n4 - n3) - (n3 - n2) + (n2 - n) - (n - 1) 
= n3(n - 1) - n2(n - 1) + n(n - 1) - (n - 1) = (n - 1) (n3 - n2 + n - 1) = (n - 1)2(n2 + 1) 
B = n4 - 1 = (n - 1)(n + 1)(n2 + 1) 
A chia hết cho b nên n 1 A chia hết cho B n - 1  n + 1 (n + 1) - 2  n + 1 
 n 1 = - 2 n = -3
 n 1 = - 1 n = - 2
 2 n + 1 
  n 1 = 1 n = 0
 n 1 = 2 n = 1 (khong Tm)
 4 3 2 4
Vậy: n 3; 2; 0  thì n - 2n + 2n - 2n + 1  n - 1 
d) Chia n3 - n2 + 2n + 7 cho n2 + 1 được thương là n - 1, dư n + 8 
 3 2 2 2 2 2
Để n - n + 2n + 7  n + 1 thì n + 8  n + 1 (n + 8)(n - 8)  n + 1 65  n + 1 
Lần lượt cho n2 + 1 bằng 1; 5; 13; 65 ta được n bằng 0; 2; 8 
Thử lại ta có n = 0; n = 2; n = 8 (T/m) 
 3 2 2
Vậy: n - n + 2n + 7  n + 1 khi n = 0, n = 8 
Bài tập về nhà: 
Tìm số nguyên n để: 
a) n3 – 2 chia hết cho n – 2 
b) n3 – 3n2 – 3n – 1 chia hết cho n2 + n + 1 
c)5n – 2n chia hết cho 63 
Dạng 4: Tồn tại hay không tồn tại sự chia hết 
Bài 1: Tìm n N sao cho 2n – 1 chia hết cho 7 
Giải 
 n 3k k
Nếu n = 3k ( k N) thì 2 – 1 = 2 – 1 = 8 - 1 chia hết cho 7 
Nếu n = 3k + 1 ( k N) thì 2n – 1 = 23k + 1 – 1 = 2(23k – 1) + 1 = BS 7 + 1 
Nếu n = 3k + 2 ( k N) thì 2n – 1 = 23k + 2 – 1 = 4(23k – 1) + 3 = BS 7 + 3 
V ậy: 2n – 1 chia hết cho 7 khi n = BS 3 
 12 www.VNMATH.com
 www.vnmath.com 
 CHUYEÂN ÑEÀ 4 – TÍNH CHIA HEÁT ÑOÁI VÔÙI ÑA THÖÙC 
A. Daïng 1: Tìm dö cuûa pheùp chia maø khoâng thöïc hieän pheùp chia 
1. Ña thöùc chia coù daïng x – a (a laø haèng) 
a) Ñònh lí Bôdu (Bezout, 1730 – 1783): 
Soá dö trong pheùp chia ña thöùc f(x) cho nhò thöùc x – a baèng giaù trò cuûa f(x) taïi x = a 
Ta coù: f(x) = (x – a). Q(x) + r 
Ñaúng thöùc ñuùng vôùi moïi x neân vôùi x = a, ta coù 
f(a) = 0.Q(a) + r hay f(a) = r 
Ta suy ra: f(x) chia heát cho x – a f(a) = 0 
b) f(x) coù toång caùc heä soá baèng 0 thì chia heát cho x – 1 
c) f(x) coù toång caùc heä soá cuûa haïng töû baäc chaün baèng toång caùc heä soá cuûa caùc haïng töû baäc 
leû thì chia heát cho x + 1 
Ví duï : Khoâng laøm pheùp chia, haõy xeùt xem A = x3 – 9x2 + 6x + 16 chia heát cho 
B = x + 1, C = x – 3 khoâng 
Keát quaû: 
A chia heát cho B, khoâng chia heát cho C 
2. Ña thöùc chia coù baäc hai trôû leân 
Caùch 1: Taùch ña thöùc bò chia thaønh toång cuûa caùc ña thöùc chia heát cho ña thöùc chia vaø dö 
Caùch 2: Xeùt giaù trò rieâng: goïi thöông cuûa pheùp chia laø Q(x), dö laø ax + b thì 
f(x) = g(x). Q(x) + ax + b 
Ví duï 1: Tìm dö cuûa pheùp chia x7 + x5 + x3 + 1 cho x2 – 1 
Caùch 1: Ta bieát raèng x2n – 1 chia heát cho x2 – 1 neân ta taùch: 
x7 + x5 + x3 + 1 = (x7 – x) + (x5 – x) +(x3 – x) + 3x + 1 
= x(x6 – 1) + x(x4 – 1) + x(x2 – 1) + 3x + 1 chia cho x2 – 1 dö 3x + 1 
Caùch 2: 
Goïi thöông cuûa pheùp chia laø Q(x), dö laø ax + b, Ta coù: 
x7 + x5 + x3 + 1 = (x -1)(x + 1).Q(x) + ax + b vôùi moïi x 
Ñaúng thöùc ñuùng vôùi moïi x neân vôùi x = 1, ta coù 4 = a + b (1) 
vôùi x = - 1 ta coù - 2 = - a + b (2) 
Töø (1) vaø (2) suy ra a = 3, b =1 neân ta ñöôïc dö laø 3x + 1 
Ghi nhôù: 
an – bn chia heát cho a – b (a -b) 
an + bn ( n leû) chia heát cho a + b (a -b) 
Ví duï 2: Tìm dö cuûa caùc pheùp chia 
a) x41 chia cho x2 + 1 
b) x27 + x9 + x3 + x cho x2 – 1 
c) x99 + x55 + x11 + x + 7 cho x2 + 1 
Giaûi 
 14 www.VNMATH.com
 www.vnmath.com 
II. Ví duï 
1.Ví duï 1: 
Chöùng minh raèng: x8n + x4n + 1 chia heát cho x2n + xn + 1 
Ta coù: x8n + x4n + 1 = x8n + 2x4n + 1 - x4n = (x4n + 1)2 - x4n = (x4n + x2n + 1)( x4n - x2n + 1) 
Ta laïi coù: x4n + x2n + 1 = x4n + 2x2n + 1 – x2n = (x2n + xn + 1)( x2n - xn + 1) 
chia heát cho x2n + xn + 1 
Vaäy: x8n + x4n + 1 chia heát cho x2n + xn + 1 
2. Ví duï 2: 
Chöùng minh raèng: x3m + 1 + x3n + 2 + 1 chia heát cho x2 + x + 1 vôùi moïi m, n N 
Ta coù: x3m + 1 + x3n + 2 + 1 = x3m + 1 - x + x3n + 2 – x2 + x2 + x + 1 
 = x(x3m – 1) + x2(x3n – 1) + (x2 + x + 1) 
Vì x3m – 1 vaø x3n – 1 chia heát cho x3 – 1 neân chia heát cho x2 + x + 1 
Vaäy: x3m + 1 + x3n + 2 + 1 chia heát cho x2 + x + 1 vôùi moïi m, n N 
3. Ví duï 3: Chöùng minh raèng 
f(x) = x99 + x88 + x77 + ... + x11 + 1 chia heát cho g(x) = x9 + x8 + x7 + ....+ x + 1 
Ta coù: f(x) – g(x) = x99 – x9 + x88 – x8 + x77 – x7 + ... + x11 – x + 1 – 1 
 = x9(x90 – 1) + x8(x80 – 1) + ....+ x(x10 – 1) chia heát cho x10 – 1 
Maø x10 – 1 = (x – 1)(x9 + x8 + x7 +...+ x + 1) chia heát cho x9 + x8 + x7 +...+ x + 1 
Suy ra f(x) – g(x) chia heát cho g(x) = x9 + x8 + x7 +...+ x + 1 
Neân f(x) = x99 + x88 + x77 + ... + x11 + 1 chia heát cho g(x) = x9 + x8 + x7 + ....+ x + 1 
4. Ví duï 4: CMR: f(x) = (x2 + x – 1)10 + (x2 - x + 1)10 – 2 chia heát cho g(x) = x2 – x 
Ña thöùc g(x) = x2 – x = x(x – 1) coù 2 nghieäm laø x = 0 vaø x = 1 
Ta coù f(0) = (-1)10 + 110 – 2 = 0 x = 0 laø nghieäm cuûa f(x) f(x) chöùa thöøa soá x 
f(1) = (12 + 1 – 1)10 + (12 – 1 + 1)10 – 2 = 0 x = 1 laø nghieäm cuûa f(x) f(x) chöùa thöøa soá 
x – 1, maø caùc thöøa soá x vaø x – 1 khoâng coù nhaân töû chung, do ñoù f(x) chia heát cho x(x – 
1) 
hay f(x) = (x2 + x – 1)10 + (x2 - x + 1)10 – 2 chia heát cho g(x) = x2 – x 
5. Ví duï 5: Chöùng minh raèng 
a) A = x2 – x9 – x1945 chia heát cho B = x2 – x + 1 
b) C = 8x9 – 9x8 + 1 chia heát cho D = (x – 1)2 
c) C (x) = (x + 1)2n – x2n – 2x – 1 chia heát cho D(x) = x(x + 1)(2x + 1) 
Giaûi 
a) A = x2 – x9 – x1945 = (x2 – x + 1) – (x9 + 1) – (x1945 – x) 
Ta coù: x2 – x + 1 chia heát cho B = x2 – x + 1 
 x9 + 1 chia heát cho x3 + 1 neân chia heát cho B = x2 – x + 1 
 x1945 – x = x(x1944 – 1) chia heát cho x3 + 1 (cuøng coù nghieäm laø x = - 1) 
neân chia heát cho B = x2 – x + 1 
Vaäy A = x2 – x9 – x1945 chia heát cho B = x2 – x + 1 
 16 www.VNMATH.com
 www.vnmath.com 
 CHUYEÂN ÑEÀ 5 : SOÁ CHÍNH PHÖÔNG 
I. Soá chính phöông: 
A. Moät soá kieán thöùc: 
 Soá chính phöông: soá baèng bình phöông cuûa moät soá khaùc 
Ví duï: 
4 = 22; 9 = 32 
A = 4n2 + 4n + 1 = (2n + 1)2 = B2 
+ Số chính phương không tận cùng bởi các chữ số: 2, 3, 7, 8 
+ Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4, chia hết cho 3 thì chia hết cho 9, chia 
hết cho 5 thì chia hết cho 25, chia hết cho 23 thì chia hết cho 24, 
+ Số 11...1 = a thì 99...9 = 9a 9a + 1 = 99...9 + 1 = 10n 
 n n n
B. Moät soá baøi toaùn: 
1. Baøi 1: 
Chöùng minh raèng: Moät soá chính phöông chia cho 3, cho 4 chæ coù theå dö 0 hoaëc 1 
Giaûi 
Goïi A = n2 (n N) 
a) xeùt n = 3k (k N) A = 9k2 neân chia heát cho 3 
n = 3k 1 (k N) A = 9k2 6k + 1, chia cho 3 dö 1 
Vaäy: soá chính phöông chia cho 3 dö 0 hoaëc 1 
b) n = 2k (k N) thì A = 4k2 chia heát cho 4 
n = 2k +1 (k N) thì A = 4k2 + 4k + 1 chia cho 4 dö 1 
Vaäy: soá chính phöông chia cho 4 dö 0 hoaëc 1 
Chuù yù: + Soá chính phöông chaün thì chia heát cho 4 
 + Soá chính phöông leû thì chia cho 4 thì dö 1( Chia 8 cuûng dö 1) 
2. Baøi 2: Soá naøo trong caùc soá sau laø soá chính phöông 
a) M = 19922 + 19932 + 19942 
b) N = 19922 + 19932 + 19942 + 19952 
c) P = 1 + 9100 + 94100 + 1994100 
d) Q = 12 + 22 + ...+ 1002 
e) R = 13 + 23 + ... + 1003 
Giaûi 
a) caùc soá 19932, 19942 chia cho 3 dö 1, coøn 19922 chia heát cho 3 M chia cho 3 dö 2 
do ñoù M khoâng laø soá chính phöông 
b) N = 19922 + 19932 + 19942 + 19952 goàm toång hai soá chính phöông chaün chia heát cho 
4, vaø hai soá chính phöông leû neân chia 4 dö 2 suy ra N khoâng laø soá chính phöông 
c) P = 1 + 9100 + 94100 + 1994100 chia 4 dö 2 neân khoâng laø soá chính phöông 
d) Q = 12 + 22 + ...+ 1002 
 18 www.VNMATH.com
 www.vnmath.com 
= [a(9a + 1) + 2a]100 + 25 = 900a2 + 300a + 25 = (30a + 5)2 = (33.....35)2 
 
 n
f) F = 44.....4 = 4.11.....1 laø soá chính phöông thì 11.....1 laø soá chính phöông 
   
 100 100 100
Soá 11.....1 laø soá leû neân noù laø soá chính phöông thì chia cho 4 phaûi dö 1 
 
 100
Thaät vaäy: (2n + 1)2 = 4n2 + 4n + 1 chia 4 dö 1 
11.....1 coù hai chöõ soá taän cuøng laø 11 neân chia cho 4 thì dö 3 

 100
vaäy 11.....1 khoâng laø soá chính phöông neân F = 44.....4 khoâng laø soá chính phöông 
  
 100 100
Baøi 4: 
a) Cho các số A = 11........11 ; B = 11.......11 ; C = 66.....66 
      
 2m m + 1 m
CMR: A + B + C + 8 là số chính phương . 
 102m 1 10m 1 1 10m 1
Ta coù: A ; B = ; C = 6. Neân: 
 9 9 9
 102m 1 10m 1 1 10m 1 1021mm 1 10 1 6(10 m 1) 72
A + B + C + 8 = + + 6. + 8 = 
 9 9 9 9
 mm2 2
 102mmm 1 10.10 1 6.10 6 72 10 16.10 64 10m 8
= = 
 9 93 
b) CMR: Với mọi x,y Z thì A = (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y) + y4 laø số chính phương. 
A = (x2 + 5xy + 4y2) (x2 + 5xy + 6y2) + y4 
= (x2 + 5xy + 4y2) [(x2 + 5xy + 4y2) + 2y2) + y4 
= (x2 + 5xy + 4y2)2 + 2(x2 + 5xy + 4y2).y2 + y4 = [(x2 + 5xy + 4y2) + y2)2 
 = (x2 + 5xy + 5y2)2 
Baøi 5: Tìm soá nguyeân döông n ñeå caùc bieåu thöùc sau laø soá chính phöông 
a) n2 – n + 2 b) n5 – n + 2 
Giaûi 
a) Vôùi n = 1 thì n2 – n + 2 = 2 khoâng laø soá chính phöông 
Vôùi n = 2 thì n2 – n + 2 = 4 laø soá chính phöông 
Vôùi n > 2 thì n2 – n + 2 khoâng laø soá chính phöông Vì 
(n – 1)2 = n2 – (2n – 1) < n2 – (n - 2) < n2 
b) Ta coù n5 – n chia heát cho 5 Vì 
n5 – n = (n2 – 1).n.(n2 + 1) 
Vôùi n = 5k thì n chia heát cho 5 
Vôùi n = 5k 1 thì n2 – 1 chia heát cho 5 
Vôùi n = 5k 2 thì n2 + 1 chia heát cho 5 
Neân n5 – n + 2 chia cho 5 thì dö 2 neân n5 – n + 2 coù chöõ soá taän cuøng laø 2 hoaëc 7 neân 
n5 – n + 2 khoâng laø soá chính phöông 
Vaäy : Khoâng coù giaù trò naøo cuûa n thoaõ maõn baøi toaùn 
 20 www.VNMATH.com
 www.vnmath.com 
 CHUYEÂN ÑEÀ 6 – ÑOÀNG DÖ THÖÙC 
A. ÑÒNH NGHÓA: 
Neáu hai soá nguyeân a vaø b coù cuøng soá dö trong pheùp chia cho moät soá töï nhieân m 0 thì 
ta noùi a ñoàng dö vôùi b theo moâñun m, vaø coù ñoàng dö thöùc: a  b (mod m) 
Ví duï:7  10 (mod 3) , 12  22 (mod 10) 
+ Chuù yù: a  b (mod m) a – b  m 
B. TÍNH CHAÁT: 
1. Tính chaát phaûn xaï: a  a (mod m) 
2. Tính chaát ñoãi xöùng: a  b (mod m) b  a (mod m) 
3. Tính chaát baéc caàu: a  b (mod m), b  c (mod m) thì a  c (mod m) 
 a  b (mod m)
4. Coäng , tröø töøng veá: a c  b d (mod m) 
 c  d (mod m)
Heä quaû: 
a) a  b (mod m) a + c  b + c (mod m) 
b) a + b  c (mod m) a  c - b (mod m) 
c) a  b (mod m) a + km  b (mod m) 
 a  b (mod m)
5. Nhaân töøng veá : ac bd (mod m) 
 c  d (mod m)
Heä quaû: 
a) a  b (mod m) ac  bc (mod m) (c Z) 
b) a  b (mod m) an  bn (mod m) 
6. Coù theå nhaân (chia) hai veá vaø moâñun cuûa moät ñoàng dö thöùc vôùi moät soá nguyeân 
döông 
 a  b (mod m) ac  bc (mod mc) 
Chaúng haïn: 11  3 (mod 4) 22  6 (mod 8) 
 ac  bc (mod m)
7. a b (mod m) 
 (c, m) = 1 
 16  2 (mod 7)
Chaúng haïn : 8 1 (mod 7) 
 (2, 7) = 1 
C. CAÙC VÍ DUÏ: 
1. Ví duï 1: 
Tìm soá dö khi chia 9294 cho 15 
Giaûi 
Ta thaáy 92  2 (mod 15) 9294  294 (mod 15) (1) 
Laïi coù 24  1 (mod 15) (24)23. 22  4 (mod 15) hay 294  4 (mod 15) (2) 
Töø (1) vaø (2) suy ra 9294  4 (mod 15) töùc laø 9294 chia 15 thì dö 4 
2. Ví duï 2: 
Chöùng minh: trong caùc soá coù daïng 2n – 4(n N), coù voâ soá soá chia heát cho 5 
 22 www.VNMATH.com
 www.vnmath.com 
 CHUYEÂN ÑEÀ 7 – CAÙC BAØI TOAÙN VEÀ BIEÅU THÖÙC HÖÕU TÆ 
A. Nhaéc laïi kieán thöùc: 
Caùc böôùc ruùt goïn bieåu thöùc höûu tæ 
a) Tìm ÑKXÑ: Phaân tích maãu thaønh nhaân töû, cho taát caû caùc nhaân töû khaùc 0 
b) Phaân tích töû thaønh nhaân , chia töû vaø maãu cho nhaân töû chung 
B. Baøi taäp: 
 xx42 54
Baøi 1: Cho bieåu thöùc A = 
 xx42 10 9
a) Ruùt goïn A 
b) tìm x ñeå A = 0 
c) Tìm giaù trò cuûa A khi 217x 
Giaûi 
a)Ñkxñ : 
 x4 – 10x2 + 9 0 [(x2)2 – x2] – (9x2 – 9) 0 x2(x2 – 1) – 9(x2 – 1) 0 
 2 2 x 1
 (x – 1)(x – 9) 0 (x – 1)(x + 1)(x – 3)(x + 3) 0 
 x 3
Töû : x4 – 5x2 + 4 = [(x2)2 – x2] – (x2 – 4) = x2(x2 – 1) – 4(x2 – 1) 
= (x2 – 1)(x2 – 4) = (x – 1)(x + 1)(x – 2)(x + 2) 
 (x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2) (x - 2)(x + 2)
Vôùi x 1; x 3 thì A = 
 (x - 1)(x + 1)(x - 3)(x + 3) (x - 3)(x + 3)
 (x - 2)(x + 2)
b) A = 0 = 0 (x – 2)(x + 2) = 0 x = 2 
 (x - 3)(x + 3)
 217xxx 2 8 4
c) 217x 
 21xxx 7 2 6 3
 (x - 2)(x + 2) (4 - 2)(4 + 2) 12
* Vôùi x = 4 thì A = 
 (x - 3)(x + 3) (4 - 3)(4 + 3) 7
* Vôùi x = - 3 thì A khoâng xaùc ñònh 
2. Baøi 2: 
 2x32 7x 12x 45
Cho bieåu thöùc B = 
 3x32 19x 33x 9
a) Ruùt goïn B 
b) Tìm x ñeå B > 0 
Giaûi 
a) Phaân tích maãu: 3x3 – 19x2 + 33x – 9 = (3x3 – 9x2) – (10x2 – 30x) + (3x – 9) 
= (x – 3)(3x2 – 10x + 3) = (x – 3)[(3x2 – 9x) – (x – 3)] = (x – 3)2(3x – 1) 
 1
Ñkxñ: (x – 3)2(3x – 1) 0 x 3 vaø x 
 3
b) Phaân tích töû, ta coù: 
 2x3 – 7x2 – 12x + 45 = (2x3 – 6x2 ) - (x2 - 3x) – (15x - 45) = (x – 3)(2x2 – x – 15) 
 24 www.VNMATH.com
 www.vnmath.com 
 x32 xx2 x32 xx2(1 xxx )(2 ) x
D = = 
 xx 24 x2 xx(2)4 x2 xx (2)(2)(2)2 x x
Neáu x + 2 = 0 x = -2 thì bieåu thöùc D khoâng xaùc ñònh 
 x2 x x
b) Ñeå D coù giaù trò nguyeân thì hoaëc coù giaù trò nguyeân 
 2 2
 2 2
 x x x - x  2 x(x - 1)  2 
+) coù giaù trò nguyeân 
 2 x > - 2 x > - 2
Vì x(x – 1) laø tích cuûa hai soá nguyeân lieân tieáp neân chia heát cho 2 vôùi moïi x > - 2 
 x x  2 x = 2k 
+) coù giaù trò nguyeân x 2k (k Z; k < - 1) 
 2 x < - 2 x < - 2
 x2 x 6(6 1)
c) Khia x = 6 x > - 2 neân D = = 15 
 2 2
* Daïng 2: Caùc bieåu thöùc coù tính quy luaät 
Baøi 1: Ruùt goïn caùc bieåu thöùc 
 35 21n 
a) A = ...... 
 (1.2)22 (2.3) nn(1) 2
Phöông phaùp: Xuaát phaùt töø haïng töû cuoái ñeå tìm ra quy luaät 
 21n 21n 1 1
Ta coù = Neân 
 nn(1) 2 nn222(1) n (1) n 2
 11111 11 1 1 1nn (1) 
A = ...... 
 122222 2 2 3 3nn 22 ( n 1) 2 1 ( n 1)2 ( n 1) 2
 111 1
b) B = 1 222 . 1 . 1 ........ 1 2 
 234 n
 11(1)(1)kkk2 
Ta coù 1 Neân 
 kk22 k 2
 1.3 2.4 3.5 (nn 1)( 1) 1.3.2.4...( nn 1)( 1) 1.2.3...( n 1) 3.4.5...( n 1) 1 n 1 n 1
B = . . ... . . 
 222 3 4 2nnnnnnn 2 22222 .3 .4 ... 2.3.4...( 1) 2.3.4.... 2 2
 150 150 150 150 1111 1 1 1
c) C = ...... = 150. . ...... 
 5.8 8.11 11.14 47.50 3 5 8 8 11 47 50
 11 9
 = 50. 50. 45 
 550 10
 111 1 11 1 1 1 1 1
d) D = ...... = . ...... 
 1.2.3 2.3.4 3.4.5 (nnn 1) ( 1) 2 1.2 2.3 2.3 3.4 (nnnn 1) ( 1)
 11 1 (nn 1)(2)
 = 
 21.2(1)4(1) nn nn
Baøi 2: 
 mm 12 21 111 1 A
a) Cho A = ... ; B = ...... . Tính 
 12mn 21 234 n B
Ta coù 
 26 www.VNMATH.com
 www.vnmath.com 
Töø (1) suy ra bcx + acy + abz = 0 (3) 
Töø (2) suy ra 
 222 222
 a b c ab ac bc a b c ab ac bc 
 + + + 2 . 4 + + 4 2 . (4) 
 x y z xy xz yz x y z xy xz yz 
Thay (3) vaøo (4) ta coù D = 4 – 2.0 = 4 
Baøi 3 
 ab2c
a) Cho abc = 2; ruùt goïn bieåu thöùc A = 
 ab + a + 2 bc + b + 1 ac + 2c + 2
 aab2caab2c
Ta coù : A = 
 ab + a + 2 abc + ab + a ac + 2c + 2 ab + a + 2 2 + ab + a ac + 2c + abc
 aab2caab2ab + a + 2
 = 1 
 ab + a + 2 2 + ab + a c(a + 2 + ab) ab + a + 2 2 + ab + a a + 2 + ab ab + a + 2
 abc222
b) Cho a + b + c = 0; ruùt goïn bieåu thöùc B = 
 a222 - b - c b 222 - c - a c 222 - b - a
Töø a + b + c = 0 a = -(b + c) a2 = b2 + c2 + 2bc a2 - b2 - c2 = 2bc 
Töông töï ta coù: b2 - a2 - c2 = 2ac ; c2 - b2 - a2 = 2ab (Hoaùn vò voøng quanh), neân 
 abcabc222333 
B = (1) 
 2bc 2ac 2ab 2abc
a + b + c = 0 -a = (b + c) -a3 = b3 + c3 + 3bc(b + c) -a3 = b3 + c3 – 3abc 
 a3 + b3 + c3 = 3abc (2) 
 abc333 3abc3
Thay (2) vaøo (1) ta coù B = (Vì abc 0) 
 2abc 2abc 2
c) Cho a, b, c töøng ñoâi moät khaùc nhau thoaû maõn: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 
 abc222
Ruùt goïn bieåu thöùc C = + 
 a222 + 2bc b + 2ac c + 2ab
Töø (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 ab + ac + bc = 0 
 a2 + 2bc = a2 + 2bc – (ab + ac + bc) = a2 – ab + bc – ac = (a – b)(a – c) 
Töông töï: b2 + 2 ac = (b – a)(b – c) ; c2 + 2ab = (c – a)(c – b) 
 abcabc222222
C = + - 
 (a - b)(a - c) (b - a)(b - c) (c - a)(c - b) (a - b)(a - c) (a - b)(b - c) (a - c)(b - c)
 a222 (b - c) b (a - c) c (b - c) (a - b)(a - c)(b - c)
 = - 1 
 (a - b)(a - c)(b - c) (a - b)(a - c)(b - c) (a - b)(a - c)(b - c) (a - b)(a - c)(b - c)
* Daïng 4: Chöùng minh ñaúng thöùc thoaû maõn ñieàu kieän cuûa bieán 
 111 111
1. Baøi 1: Cho + + = 2 (1); + + = 2 (2). 
 abc abc222
Chöùng minh raèng: a + b + c = abc 
Töø (1) suy ra 
111 111 111 111
 222 + + + 2. + + 4 2. + + 4222 + + 
a b c abbcac abbcac a b c
 1 1 1 a + b + c
 + + 1 1 a + b + c = abc 
 ab bc ac abc
 28 www.VNMATH.com
 www.vnmath.com 
 abc abc
Cho + 0 ; chöùng minh: + 0 
 b - c c - a a - b (b - c)222 (c - a) (a - b)
 abc a b c b22 ab + ac - c
Töø + 0 = 
 b - c c - a a - b b - c a - c b - a (a - b)(c - a)
 a b22 ab + ac - c 1
 (1) (Nhaân hai veá vôùi ) 
 (b - c)2 (a - b)(c - a)(b - c) b - c
 b cbc22 + ba - a caac22 + cb - b
Töông töï, ta coù: (2) ; (3) 
 (c - a)2 (a - b)(c - a)(b - c) (a - b)2 (a - b)(c - a)(b - c)
Coäng töøng veá (1), (2) vaø (3) ta coù ñpcm 
7. Baøi 7: 
 a - b b - c c - a c a b
Cho a + b + c = 0; chöùng minh: + + = 9 (1) 
 c a b a - b b - c c - a 
 a - b b - c c - a c1a1b1
Ñaët = x ; y ; z = ; 
 c a b a - b x b - c y c - a z
 111
(1) x + y + z + + 9 
 xyz
 1 1 1 y + z x + z x + y 
Ta coù: x + y + z + + 3 + + (2) 
 xyz x y z 
 y + z b - c c - a c b22 bc + ac - a c c(a - b)(c - a - b) c(c - a - b)
Ta laïi coù: .. 
 x a b a - b ab a - b ab(a - b) ab
 c2c - (a + b + c) 2c2
= (3) 
 ab ab
 x + z 2a 2 x + y 2b2
Töông töï, ta coù: (4) ; (5) 
 ybc zac
Thay (3), (4) vaø (5) vaøo (2) ta coù: 
 222
 111 2c 2a 2b 2 3 3 3
 x + y + z + + 3 + = 3 + (a + b + c ) (6) 
 xyz ab bc ac abc
Töø a + b + c = 0 a3 + b3 + c3 = 3abc (7) ? 
 111 2 
Thay (7) vaøo (6) ta coù: x + y + z + + 3 + . 3abc = 3 + 6 = 9 
 xyz abc
Baøi taäp veà nhaø: 
Baøi 1: 
 23 x xx 2 x
Cho bieåu thöùc A = 2 :1 
 xxxx 32 56 x 1
a) Ruùt goïn A 
b) Tìm x ñeå A = 0; A > 0 
Baøi 2: 
 3751y32 yy
Cho bieåu thöùc B = 
 243yy32 y
a) Ruùt goïn B 
 30 www.VNMATH.com
 www.vnmath.com 
 CHUYEÂN ÑEÀ 8 - CAÙC BAØI TOAÙN VEÀ ÑÒNH LÍ TA-LEÙT 
A.Kieán thöùc: A
1. Ñònh lí Ta-leùt: 
 ABC  AM AN M N
* Ñònh lí Taleùt  = 
 MN // BC AB AC
 B C
 AM AN MN
* Heä quaû: MN // BC = 
 AB AC BC
B. Baøi taäp aùp duïng: 
1. Baøi 1: 
Cho töù giaùc ABCD, ñöôøng thaúng qua A song song vôùi BC caét BD ôû E, ñöôøng thaúng 
qua B song song vôùi AD caét AC ôû G 
 B
a) chöùng minh: EG // CD 
b) Giaû söû AB // CD, chöùng minh raèng AB2 = CD. EG A
Giaûi O
Goïi O laø giao ñieåm cuûa AC vaø BD 
 OE OA E G
a) Vì AE // BC = (1) 
 OB OC
 OB OG
 BG // AC = (2) 
 OD OA
 D C
 OE OG
Nhaân (1) vôùi (2) veá theo veá ta coù: = EG // 
 OD OC
CD 
b) Khi AB // CD thì EG // AB // CD, BG // AD neân 
AB OA OD CD AB CD
 = = AB2 CD. EG 
EG OG OB AB EG AB
Baøi 2: 
Cho ABC vuoâng taïi A, Veõ ra phía ngoaøi tam giaùc ñoù caùc tam giaùc ABD vuoâng caân ôû 
B, ACF vuoâng caân ôû C. Goïi H laø giao ñieåm cuûa AB vaø CD, K laø giao ñieåm cuûa AC vaø 
BF. Chöùng minh raèng: 
a) AH = AK 
b) AH2 = BH. CK 
Giaûi D
 A
Ñaët AB = c, AC = b. 
 H
BD // AC (cuøng vuoâng goùc vôùi AB) K F
 AH AC b AH b AH b
neân 
 HB BD c HB c HB + AH b + c
 AH b AH b b.c B C
Hay AH (1) 
 AB b + c c b + c b + c
 32 www.VNMATH.com
 www.vnmath.com 
mμ AC = BD (3) 
Tõ (1), (2), (3) suy ra : EM = NF (a) 
 1
T−¬ng tù nh− trªn ta cã: MG // BD, NH // AC vμ MG = NH = AC (b) 
 3
MÆt kh¸c EM // AC; MG // BD Vμ AC  BD EM  MG EMG = 900 (4) 
T−¬ng tù, ta cã: FNH = 900 (5) 
Tõ (4) vμ (5) suy ra EMG = FNH = 900 (c) 
Tõ (a), (b), (c) suy ra EMG = FNH (c.g.c) EG = FH 
b) Gäi giao ®iÓm cña EG vμ FH lμ O; cña EM vμ FH lμ P; cña EM vμ FN lμ Q th× 
PQF = 900 QPF + QFP = 900 mμ QPF = OPE (®èi ®Ønh), OEP = QFP ( EMG = FNH) 
Suy ra EOP = PQF = 900 EO  OP EG  FH 
5. Bμi 5: 
Cho h×nh thang ABCD cã ®¸y nhá CD. Tõ D vÏ ®−êng th¼ng song song víi BC, c¾t AC t¹i 
M vμ AB t¹i K, Tõ C vÏ ®−êng th¼ng song song víi AD, c¾t AB t¹i F, qua F ta l¹i vÏ 
®−êng th¼ng song song víi AC, c¾t BC t¹i P. Chøng minh r»ng 
a) MP // AB 
b) Ba ®−êng th¼ng MP, CF, DB ®ång quy 
Gi¶i 
 CP AF
a) EP // AC = (1) 
 PB FB
 CM DC
 AK // CD = (2) D C
 AM AK
 c¸c tø gi¸c AFCD, DCBK la c¸c h×nh b×nh hμnh nªn 
AF = DC, FB = AK (3) 
 CP CM I P
KÕt hîp (1), (2) vμ (3) ta cã MP // AB M
 PB AM
(§Þnh lÝ Ta-lÐt ®¶o) (4) 
 CP CM
b) Gäi I lμ giao ®iÓm cña BD vμ CF, ta cã: = A K F B
 PB AM
 DC DC
AK FB
 DC DI CP DI
Mμ (Do FB // DC) IP // DC // AB (5) 
 FB IB PB IB
Tõ (4) vμ (5) suy ra : qua P cã hai ®−êng th¼ng IP, PM cïng song song víi AB // DC nªn 
theo tiªn ®Ò ¥clÝt th× ba ®iÓm P, I, M th¼ng hang hay MP ®i qua giao ®iÓm cña CF vμ DB 
hay ba ®−êng th¼ng MP, CF, DB ®ång quy 
6. Bμi 6: 
Cho ABC cã BC < BA. Qua C kÎ ®−êng th¼ng vu«ng go¸c víi tia ph©n gi¸c BE cña 
ABC ; ®−êng th¼ng nμy c¾t BE t¹i F vμ c¾t trung tuyÕn BD t¹i G. Chøng minh r»ng ®o¹n 
th¼ng EG bÞ ®o¹n th¼ng DF chia lμm hai phÇn b»ng nhau 
Gi¶i 
Gäi K lμ giao ®iÓm cña CF vμ AB; M lμ giao ®iÓm cña DF vμ BC 
 KBC cã BF võa lμ ph©n gi¸c võa lμ ®−êng cao nªn KBC c©n t¹i B BK = BC vμ FC 
= FK 
 34 www.VNMATH.com
 www.vnmath.com 
 CHUYEÂN ÑEÀ 9 – CAÙC BAØI TOAÙN SÖÛ DUÏNG ÑÒNH LÍ TALEÙT VAØ 
 TÍNH CHAÁT ÑÖÔØNG PHAÂN GIAÙC 
A. Kieán thöùc: 
1. Ñònh lí Ta-leùt: A
 ABC  AM AN
* Ñònh lí Taleùt  = 
 MN // BC AB AC M N
 AM AN MN
* Heä quaû: MN // BC = 
 AB AC BC
 C
2. Tính chaát ñöôøng phaân giaùc: B
 BD AB A
 ABC ,AD laø phaân giaùc goùc A = 
 CD AC
 BD' AB
AD’laø phaân giaùc goùc ngoaøi taïi A: = 
 CD' AC B D C
 A
B. Baøi taäp vaän duïng 
1. Baøi 1: 
Cho ABC coù BC = a, AB = b, AC = c, phaân giaùc AD D' B C
a) Tính ñoä daøi BD, CD 
 AI
b) Tia phaân giaùc BI cuûa goùc B caét AD ôû I; tính tæ soá: 
 ID
Giaûi 
 BD AB c A
a) AD laø phaân giaùc cuûa BAC neân 
 CD AC b
 BD c BD c ac
 BD = c
 CD + BD b + c a b + c b + c b
 ac ab I
Do ñoù CD = a - = 
 b + c b + c
 AI AB ac b + c
b) BI laø phaân giaùc cuûa ABC neân c : B
 ID BD b + c a DC
2. Baøi 2: a
Cho ABC, coù B < 600 phaân giaùc AD 
a) Chöùng minh AD < AB A
b) Goïi AM laø phaân giaùc cuûa ADC. Chöùng minh raèng 
BC > 4 DM 
Giaûi 
 A A + C 1800 - B
a)Ta coù ADB = C + > = 600 
 2 2 2
 ADB > B AD < AB 
 C M D B
 b) Goïi BC = a, AC = b, AB = c, AD = d 
Trong ADC, AM laø phaân giaùc ta coù 
DM AD DM AD DM AD
 = = = 
CM AC CM + DM AD + AC CD AD + AC
 36 www.VNMATH.com
 www.vnmath.com 
 E naèm giöõa K vaø B 
b) Goïi M laø giao ñieåm cuûa DE vaø CB. Ta coù CBD = KDB (so le trong) KBD = KDB 
 maø E naèm giöõa K vaø B neân KDB > EDB KBD > EDB EBD > EDB EB < DE 
Ta laïi coù CBD + ECB = EDB + DEC DEC > ECB DEC > DCE (Vì DCE = ECB ) 
Suy ra: CD > ED CD > ED > BE 
5. Baøi 5: Cho ABC . Ba ñöôøng phaân giaùc AD, BE, CF. H
Chöùng minh 
 DB EC FA A
a. .. 1. 
 DC EA FB F
 111111 E
b. . 
 AD BE CF BC CA AB
Giaûi 
 B C
 DB AB D
a)AD laø ñöôøng phaân giaùc cuûa BAC neân ta coù: = (1) 
 DC AC
 EC BC FA CA
Töông töï: vôùi caùc phaân giaùc BE, CF ta coù: = (2) ; = (3) 
 EA BA FB CB
 DB EC FA AB BC CA
Töø (1); (2); (3) suy ra: .. = .. = 1 
 DC EA FB AC BA CB
b) §Æt AB = c , AC = b , BC = a , AD = da. 
Qua C kÎ ®−êng th¼ng song song víi AD , c¾t tia BA ë H. 
 AD BA BA.CH c.CH c
Theo §L TalÐt ta cã: AD .CH 
 CH BH BH BA + AH b + c
 2bc 11111111bc 
Do CH < AC + AH = 2b nªn: da 
 bc dbcbcdaa22 2 bc
 1111 1111 
Chøng minh t−¬ng tù ta cã : Vμ Nªn: 
 dacb 2 dabc 2 
 1111111111 1111111 
 .2 
dddabc2 bc ac ab dddabc2 abc
 111111
 ( ®pcm ) 
 dddabcabc
Bμi tËp vÒ nhμ 
Cho ABC coù BC = a, AC = b, AB = c (b > c), caùc phaân giaùc BD, CE 
a) Tính ñoä daøi CD, BE roài suy ra CD > BE 
b) Veõ hình bình haønh BEKD. Chöùng minh: CE > EK 
c) Chöùng minh CE > BD 
www.vnmath.com 
 38 www.VNMATH.com
 www.vnmath.com 
- vôùi a = 4 thì c = 6 ; b = 5 
Vaäy a = 4; b = 5; c = 6 
Baøi 2: 
Cho ABC caân taïi A, ñöôøng phaân giaùc BD; tính BD 
bieát BC = 5 cm; AC = 20 cm 
Giaûi 
 CD BC 1
Ta coù = CD = 4 cm vaø BC = 5 cm 
 AD AC 4
Baøi toaùn trôû veà baøi 1 
Baøi 3: 
Cho ABC caân taïi A vaø O laø trung ñieåm cuûa BC. Moät ñieåm O di ñoäng treân AB, laáy 
 OB2
ñieåm E treân AC sao cho CE = . Chöùng minh raèng 
 BD
a) DBO OCE 
b) DOE DBO OCE 
c) DO, EO laàn löôït laø phaân giaùc cuûa caùc goùc BDE, CED 
d) khoaûng caùch töø O ñeán ñoaïn ED khoâng ñoåi khi D di ñoäng treân AB 
Giaûi 
 OB2 CE OB
a) Töø CE = = vaø B = C (gt) DBO OCE 
 BD OB BD
b) Töø caâu a suy ra O= 3 E 2 (1) 
 0 A
 Vì B, O ,C thaúng haøng neân O 3 + DOE EOC 180 (2) 
 0
trong tam giaùc EOC thì E 2 + C EOC 180 (3) 
Töø (1), (2), (3) suy ra DOE B C 
 DO OE
 DOE vaø DBO coù = (Do DBO OCE) E
 DB OC
 I 1
 DO OE 2
vaø = (Do OC = OB) vaø DOE B C D
 1 H
 DB OB 2
neân DOE DBO OCE 
 3
c) Töø caâu b suy ra D12 = D DO laø phaân giaùc cuûa caùc goùc BDE B O C
Cuûng töø caâu b suy ra E12 = E EO laø phaân giaùc cuûa caùc goùc CED 
c) Goïi OH, OI laø khoaûng caùch töø O ñeán DE, CE thì OH = OI, maø O coá ñònh neân OH 
khoâng ñoåi OI khoâng ñoåi khi D di ñoäng treân AB 
Baøi 4: (Ñeà HSG huyeän Loäc haø – naêm 2007 – 2008) 
Cho ABC caân taïi A, coù BC = 2a, M laø trung ñieåm BC, laáy D, E thuoäc AB, AC sao 
cho DME = B 
a) Chöùng minh tích BD. CE khoâng ñoåi 
b)Chöùng minh DM laø tia phaân giaùc cuûa BDE 
c) Tính chu vi cuûa AED neáu ABC laø tam giaùc ñeàu 
Giaûi 
 40