Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi và năng khiếu môn Toán Lớp 9 - Lê Trọng Châu

 CÁC CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU
 x4 y 4 x 2 y 2 x y 
 c) 4 4 2 2 2 .
 y x y x y x 
24. Chứng minh rằng các số sau là số vơ tỉ :
 a) 1 2
 3
 b) m với m, n là các số hữu tỉ, n ≠ 0.
 n
25. Cĩ hai số vơ tỉ dương nào mà tổng là số hữu tỉ khơng ?
 x2 y 2 x y 
26. Cho các số x và y khác 0. Chứng minh rằng : 2 2 4 3 .
 y x y x 
 x2 y 2 z 2 x y z
27. Cho các số x, y, z dương. Chứng minh rằng : .
 y2 z 2 x 2 y z x
28. Chứng minh rằng tổng của một số hữu tỉ với một số vơ tỉ là một số vơ tỉ.
29. Chứng minh các bất đẳng thức :
 a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2)
 b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)
 2 2 2 2
 c) (a1 + a2 + .. + an) ≤ n(a1 + a2 + .. + an ).
30. Cho a3 + b3 = 2. Chứng minh rằng a + b ≤ 2.
31. Chứng minh rằng : x  y  x y.
 1
32. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : A .
 x2 6x 17
 x y z
33. Tìm giá trị nhỏ nhất của : A với x, y, z > 0.
 y z x
34. Tìm giá trị nhỏ nhất của : A = x2 + y2 biết x + y = 4.
35. Tìm giá trị lớn nhất của : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ 0 ; x + y + z = 1.
36. Xét xem các số a và b cĩ thể là số vơ tỉ khơng nếu :
 a
 a) ab và là số vơ tỉ.
 b
 a
 b) a + b và là số hữu tỉ (a + b ≠ 0)
 b
 c) a + b, a2 và b2 là số hữu tỉ (a + b ≠ 0)
37. Cho a, b, c > 0. Chứng minh : a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c)
 a b c d
38. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh : 2
 b c c d d a a b
39. Chứng minh rằng 2x bằng 2 x hoặc 2 x 1
40. Cho số nguyên dương a. Xét các số cĩ dạng : a + 15 ; a + 30 ; a + 45 ;  ; a + 15n. Chứng minh
rằng trong các số đĩ, tồn tại hai số mà hai chữ số đầu tiên là 96.
 § 2. HẰNG ĐẲNG THỨC AA2 
41. Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau cĩ nghĩa :
 1 1 1 2
A=x3B2 C D Ex 2x
 x2 4x 5x 2x 1 1 x 2 3 x
G 3x 1 5x 3 x2 x 1
42. a) Chứng minh rằng : | A + B | ≤ | A | + | B | . Dấu “ = ” xảy ra khi nào ?
 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau : M x2 4x 4 x 2 6x 9 .
LÊ TRỌNG CHÂU – PHỊNG GD&ĐT LỘC HÀ – ST> Page 192 CÁC CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU
59. So sánh :
a) 6 20và 1+6 b) 17122và 21 c) 28163và 3 2
60. Cho biểu thức : A x x2 4x 4
 a) Tìm tập xác định của biểu thức A.
 b) Rút gọn biểu thức A.
61. Rút gọn các biểu thức sau : a) 11210 b) 9 214
 3 11 6 2 5 2 6
 c)
 2 6 2 5 7 2 10
 1 1 1 1 1 1
62. Cho a + b + c = 0 ; a, b, c ≠ 0. Chứng minh đẳng thức : 
 a2 b 2 c 2 a b c
63. Giải bất phương trình : x2 16x 60 x 6 .
64. Tìm x sao cho : x2 3 3 x 2 .
65. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của A = x2 + y2 , biết rằng :
 x2(x2 + 2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = 1 (1)
 1 16 x2
66. Tìm x để biểu thức cĩ nghĩa: a) A b) B x2 8x 8 .
 x 2x 1 2x 1
 x x2 2x x x 2 2x
67. Cho biểu thức : A .
 x x2 2x x x 2 2x
a) Tìm giá trị của x để biểu thức A cĩ nghĩa.
b) Rút gọn biểu thức A. c) Tìm giá trị của x để A < 2.
68. Tìm 20 chữ số thập phân đầu tiên của số : 0,9999....9 (20 chữ số 9)
69. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của : A = | x - 2 | + | y – 1 | với | x | + | y | = 5
70. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x4 + y4 + z4 biết rằng xy + yz + zx = 1
 § 3. LIÊN HỆ GIỮA PHÉP NHÂN VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG
71. Trong hai số : n n 2 và 2 n+1 (n là số nguyên dương), số nào lớn hơn ?
72. Cho biểu thức A 7 4 3 7 4 3 . Tính giá trị của A theo hai cách.
73. Tính : (2 3 5)(2 3 5)(2 3 5)( 2 3 5)
74. Chứng minh các số sau là số vơ tỉ : 3 5 ; 3 2 ; 2 2 3
 5 1
75. Hãy so sánh hai số : a 33 3vàb=22 1 ; 2 5 và
 2
76. So sánh 4 7 4 7 2 và số 0.
 2 3 6 8 4
77. Rút gọn biểu thức : Q .
 2 3 4
78. Cho P 14 40 56 140 . Hãy biểu diễn P dưới dạng tổng của 3 căn thức bậc hai
79. Tính giá trị của biểu thức x2 + y2 biết rằng : x 1 y2 y 1 x 2 1.
80. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của : A 1 x 1 x .
LÊ TRỌNG CHÂU – PHỊNG GD&ĐT LỘC HÀ – ST> Page 194 CÁC CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU
 16
 c) 18 19 và 9 d) và 5. 25
 2
100. Cho hằng đẳng thức :
 a a2 b a a 2 b
 a b (a, b > 0 và a2 – b > 0).
 2 2
Áp dụng kết quả để rút gọn :
 2 3 2 3 3 2 2 3 2 2
a) ; b) 
 2 2 3 2 2 3 17 12 2 17 12 2
 2 10 30 2 2 6 2
 c) :
 2 10 2 2 3 1
101. Xác định giá trị các biểu thức sau :
 xy x2 1. y 2 1 1 1 1 1 
a) A với x a , y b (a > 1 ; b > 1)
 xy x2 1. y 2 1 2 a 2 b 
 a bx a bx 2am
b) B với x , m 1.
 a bx a bx b 1 m2 
 2x x2 1
102. Cho biểu thức P(x) 
 3x2 4x 1
a) Tìm tất cả các giá trị của x để P(x) xác định. Rút gọn P(x).
b) Chứng minh rằng nếu x > 1 thì P(x).P(- x) < 0.
 x 2 4 x 2 x 2 4 x 2
103. Cho biểu thức A .
 4 4
 1
 x2 x
a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm các số nguyên x để biểu thức A là một số nguyên.
104. Tìm giá trị lớn nhất (nếu cĩ) hoặc giá trị nhỏ nhất (nếu cĩ) của các biểu thức sau:
a)9x 2 b)xx(x0) c)1 2x d)x54 
 1
e)1213x g)2x2 2x5 h)1 x 2 2x5 i)
 2x x 3
105. Rút gọn biểu thức : A x 2x 1 x 2x 1 , bằng ba cách ?
106. Rút gọn các biểu thức sau : a) 5 3 5 48 10 7 4 3
b) 4 1025 4 1025 c) 94425 94425 .
107. Chứng minh các hằng đẳng thức với b ≥ 0 ; a ≥ b
 a a2 b a a 2 b
a) a b a b 2 a a2 b b) a b 
 2 2
108. Rút gọn biểu thức : A x22x4 x22x4 
109. Tìm x và y sao cho : x y 2 x y 2
 2 2
110. Chứng minh bất đẳng thức : a2 b 2 c 2 d 2 a c b d .
LÊ TRỌNG CHÂU – PHỊNG GD&ĐT LỘC HÀ – ST> Page 196 CÁC CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU
 2
139. Tìm giá trị lớn nhất của : a) A a b với a, b > 0 , a + b ≤ 1
 4 4 4 4 4 4
b) Bab ac ad bc bd cd 
 với a, b, c, d > 0 và a + b + c + d = 1.
140. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 3x + 3y với x + y = 4.
 b c
141. Tìm GTNN của A với b + c ≥ a + d ; b, c > 0 ; a, d ≥ 0.
 c d a b
142. Giải các phương trình sau :
a)x2 5x23x120 b)x 2 4x8x1 c)4x1 3x41
d)x1 x12 e)x2x1 x11 g)x 2x1 x 2x1 2
h)x24x2 x76x21 i)x x 1x1
k)1xx 2 x1 l)2x8x6 2 x12x2 2 
m)x6x2x12 2 n)x1 x10 x2 x5
o)x1 x32x1x 2 3x5 42x 
p)2x3 x2 2x2 x212x2 .
q) 2x2 9x 4 32x 1 2x 2 21x 11
 § 5. BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN CĂN THỨC BẬC HAI
143. Rút gọn biểu thức : A 22 532 18 2022 .
 1 1 1
144. Chứng minh rằng, n Z+ , ta luơn cĩ : 1 .... 2 n 1 1 .
 2 3 n 
 1 1
145. Trục căn thức ở mẫu : a) b) .
 1 2 5 x x 1
146. Tính :
a) 5 3 29620 b)625 13 48 c) 5 3 29125 
147. Cho a 3 5. 3 5 10 2 . Chứng minh rằng a là số tự nhiên.
 3 2 2 3 2 2
148. Cho b . b cĩ phải là số tự nhiên khơng ?
 17 12 2 17 12 2
149. Giải các phương trình sau :
a)31xx4 30 b)31x231x33 
 5 x 5 x x 3 x 3
c) 2 d) x x 5 5
 5 x x 3
150. Tính giá trị của biểu thức : M 12 5 29 25 4 21 12 5 29 25 4 21
 1 1 1 1
151. Rút gọn : A ... .
 1 2 2 3 3 4 n 1 n
LÊ TRỌNG CHÂU – PHỊNG GD&ĐT LỘC HÀ – ST> Page 198 CÁC CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU
 x2 3xy y 2
166. Tính giá trị của biểu thức : A với x 3 5 và y 3 5 .
 x y 2
 6x 3
167. Giải phương trình : 3 2 x x2 .
 x 1 x
 1
168. Giải bất các pt : a) 335x 72 b) 10x141 c)222 2x 4 .
 4
169. Rút gọn các biểu thức sau :
 a 1
a) A 5 3 29 12 5 b) B 1 a a(a 1) a
 a
 x32x9 2 x5x6x9x 2 2
c) C d) D 
 2x 6 x2 9 3x x 2 (x 2) 9 x 2
 1 1 1 1
E ... 
 1 2 2 3 3 4 24 25
 1
170. Tìm GTNN và GTLN của biểu thức A .
 2 3 x2
 2 1
171. Tìm giá trị nhỏ nhất của A với 0 < x < 1.
 1 x x
 x 1 y 2
172. Tìm GTLN của : a) A x 1 y 2 biết x + y = 4 ; b) B 
 x y
173. Cho a 1997 1996 ; b 1998 1997 . So sánh a với b, số nào lớn hơn ?
 1
174. Tìm GTNN, GTLN của : a) A b) B x2 2x 4 .
 5 2 6 x2
175. Tìm giá trị lớn nhất của A x 1 x2 .
176. Tìm giá trị lớn nhất của A = | x – y | biết x2 + 4y2 = 1.
177. Tìm GTNN, GTLN của A = x3 + y3 biết x, y ≥ 0 ; x2 + y2 = 1.
178. Tìm GTNN, GTLN của A x x y y biết x y 1.
 x 1
179. Giải phương trình : 1 x x2 3x 2 (x 2) 3.
 x 2
 § 6. RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI
180. Giải phương trình : x2 2x 9 6 4x 2x 2 .
 1 1 1 1
181. CMR, n Z+ , ta cĩ : ... 2 .
 2 3 2 4 3 (n 1) n
 1 1 1 1
182. Cho A ... . Hãy so sánh A và 1,999.
 1.1999 2.1998 3.1997 1999.1
183. Cho 3 số x, y và x y là số hữu tỉ. Chứng minh rằng mỗi số x ; y đều là số hữu tỉ
 3 2
184. Cho a 26;b 322 642 . CMR : a, b là các số hữu tỉ.
 3 2
LÊ TRỌNG CHÂU – PHỊNG GD&ĐT LỘC HÀ – ST> Page 200 CÁC CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU
 x y 1 1 1 2 1 1 
a) A : . . 
 3 
 xy xy x y x y 2 xyx y x y 
với x 2 3 ; y 2 3 .
 x x2 y 2 x x 2 y 2
b) B với x > y > 0
 2(x y)
 2a 1 x2 1 1 a a 
c) C với x ; 0 < a < 1
 1 x2 x 2 a 1 a 
 a2 1 b 2 1 
d) D (a b) với a, b, c > 0 và ab + bc + ca = 1
 c2 1
 x 2 x 1 x 2 x 1
e) E . 2x 1
 x 2x 1 x 2x 1
 x2 4 x 2 4 2x 4
198. Chứng minh : x x với x ≥ 2.
 x x x
 1 2 1 2
199. Cho a , b . Tính a7 + b7.
 2 2
200. Cho a 2 1
a) Viết a2 ; a3 dưới dạng m m 1 , trong đĩ m là số tự nhiên.
b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, số an viết được dưới dạng trên.
201. Cho biết x = 2 là một nghiệm của phương trình x3 + ax2 + bx + c = 0 với các hệ số hữu tỉ.
Tìm các nghiệm cịn lại.
 1 1 1
202. Chứng minh 2 n 3 ... 2 n 2 với n N ; n ≥ 2.
 2 3 n
203. Tìm phần nguyên của số 6 6 ... 6 6 (cĩ 100 dấu căn).
 2 3
204. Cho a 2 3. Tính a) a b) a .
205. Cho 3 số x, y, x y là số hữu tỉ. Chứng minh rằng mỗi số x , y đều là số hữu tỉ
 1 1 1 1
206. CMR, n ≥ 1 , n N : ... 2
 2 3 2 4 3 (n 1) n
 1 1 1 1
207. Cho 25 số tự nhiên a1 , a2 , a3 ,  a25 thỏa đk : ... 9 . Chứng
 a1 a 2 a 3 a 25
minh rằng trong 25 số tự nhiên đĩ tồn tại 2 số bằng nhau.
 2 x 2 x
208. Giải phương trình 2 .
 2 2 x 2 2 x
 1 x 1 x
209. Giải và biện luận với tham số a a .
 1 x 1 x
LÊ TRỌNG CHÂU – PHỊNG GD&ĐT LỘC HÀ – ST> Page 202 CÁC CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU
229. Tìm giá trị lớn nhất của A x2 9 x 2 .
230. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của A = x(x2 – 6) biết 0 ≤ x ≤ 3.
231. Một miếng bìa hình vuơng cĩ cạnh 3 dm. Ở mỗi gĩc của hình vuơng lớn, người ta cắt đi một
hình vuơng nhỏ rồi gấp bìa để được một cái hộp hình hộp chữ nhật khơng nắp. Tính cạnh hình vuơng
nhỏ để thể tích của hộp là lớn nhất.
232. Giải các phương trình sau :
a)1x16 3 3 x3 b)2x3 x11 
c)x13 3 x1 3 5x d)22x1x1 3 3 
 3 2 2
 x 3x x 1 x 4 37 x 3 x 5
e)3 2 3 g) 6 x
 2 3 7 x 3 x 5
h)(x1)3 2 3 (x1) 23 x11 2 i)x13 3 x23 x30
k)1x4 2 4 1x 4 1x3 l)ax4 4 bx 4 ab2x (a, b là tham số)
 3a4 3 a 2 b 2 3 b 4
233. Rút gọn A .
 3a2 3 ab 3 b 2
234. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A x2 x 1 x 2 x 1
235. Xác định các số nguyên a, b sao cho một trong các nghiệm của phương trình : 3x3 + ax2 + bx +
12 = 0 là 1 3 .
236. Chứng minh 3 3 là số vơ tỉ.
237. Làm phép tính : a)13 2.322 6 b)6 945.2 3 5 .
238. Tính : a 3 20 14 2 3 20 14 2 .
239. Chứng minh : 3 7 5 2 3 7 2 5 2.
240. Tính : A 4 7 48 4 28163.7 4 48 .
241. Hãy lập phương trình f(x) = 0 với hệ số nguyên cĩ một nghiệm là : x 3 3 3 9 .
 1
242. Tính giá trị của biểu thức : M = x3 + 3x – 14 với x 3 7 5 2 .
 3 7 5 2
243. Giải các phương trình : a) 3 x 2 3 25 x 3 .
 b)x9(x3)3 2 6 c)x 2 322x 4 2 323 
244. Tìm GTNN của biểu thức : A x21x13 3 x21x1 3 3 .
245. Cho các số dương a, b, c, d. Chứng minh : a + b + c + d ≥ 44 abcd .
 8 x 3 x2 23 x 3 x 2 4 
246. Rút gọn : P : 2 3 x ; x > 0 , x ≠ 8
 3 3 3 3 2 
 2 x 2 x x 2 x 2 x 
247. CMR : x 3 5 17 3 5 17 là nghiệm của phương trình x3 – 6x – 10 = 0.
 1
248. Cho x 3 4 15 . Tính giá trị biểu thức y = x3 – 3x + 1987.
 3 4 15
LÊ TRỌNG CHÂU – PHỊNG GD&ĐT LỘC HÀ – ST> Page 204 CÁC CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU
 2 a a 2 a a a a 1
 D với a > 0 ; a ≠ 1
 a 2 a 1a 1 a
 c ac 1
266. Cho biểu thức B a .
 a c a c
 a c 
 ac c ac a ac
 a) Rút gọn biểu thức B.
 b) Tính giá trị của biểu thức B khi c = 54 ; a = 24
 c) Với giá trị nào của a và c để B > 0 ; B < 0.
 2mn 2mn 1
267. Cho biểu thức : A= m+2 m 2 1 2 với m ≥ 0 ; n ≥ 1
 1+n 1 n n
a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm giá trị của A với m 56 24 5 .
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.
 1 x 1 x 1 1 x x
268. Rút gọn D 2 1 
 1 x 1 x 1 x2 1 x x x 1 x 1 x 2
 1 2 x 2 x 
269. Cho P : 1 với x ≥ 0 ; x ≠ 1.
 x 1 x x x x 1 x 1 
a) Rút gọn biểu thức P. b) Tìm x sao cho P < 0.
 x2 x 2x x
270. Xét biểu thức y 1 .
 x x 1 x
a) Rút gọn y. Tìm x để y = 2. b) Giả sử x > 1. Chứng minh rằng : y - | y | = 0
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của y ?
 ---------------HẾT---------------
 GIẢI BÀI TẬP NÂNG CAO CHƯƠNG I ĐẠI SỐ 9
 § 1. SỐ THỰC VÀ CĂN BẬC HAI
 m m2
1. Giả sử 7 là số hữu tỉ 7 (tối giản). Suy ra 7 hay 7n2 m 2 (1). Đẳng thức này
 n n2
 2
chứng tỏ m 7 mà 7 là số nguyên tố nên m  7. Đặt m = 7k (k Z), ta cĩ m2 = 49k2 (2). Từ (1) và
(2) suy ra 7n2 = 49k2 nên n2 = 7k2 (3). Từ (3) ta lại cĩ n2  7 và vì 7 là số nguyên tố nên n  7. m và
 m
n cùng chia hết cho 7 nên phân số khơng tối giản, trái giả thiết. Vậy 7 khơng phải là số hữu tỉ;
 n
do đĩ 7 là số vơ tỉ.
2. Khai triển vế trái và đặt nhân tử chung, ta được vế phải. Từ a) b) vì (ad – bc)2 ≥ 0.
3. Cách 1 : Từ x + y = 2 ta cĩ y = 2 – x. Do đĩ : S = x2 + (2 – x)2 = 2(x – 1)2 + 2 ≥ 2.
Vậy min S = 2 x = y = 1.
Cách 2 : Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki với a = x, c = 1, b = y, d = 1, ta cĩ :
(x + y)2 ≤ (x2 + y2)(1 + 1) 4 ≤ 2(x2 + y2) = 2S S ≥ 2. mim S = 2 khi x = y = 1
LÊ TRỌNG CHÂU – PHỊNG GD&ĐT LỘC HÀ – ST> Page 206 CÁC CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU
 2 2
d) Giả sử 32 23 32 23 3223 18 12 1812 .
Bất đẳng thức cuối cùng đúng, nên : 3 2 2 3 .
 2 3
18. Các số đĩ cĩ thể là 1,42 và
 2
19. Viết lại phương trình dưới dạng : 3(x 1)2 4 5(x 1) 2 16 6 (x 1) 2 .
Vế trái của phương trình khơng nhỏ hơn 6, cịn vế phải khơng lớn hơn 6. Vậy đẳng thức chỉ xảy ra
khi cả hai vế đều bằng 6, suy ra x = -1.
 2
 a b a b 
20. Bất đẳng thức Cauchy ab viết lại dưới dạng ab (*) (a, b ≥ 0).
 2 2 
Áp dụng bất dẳng thức Cauchy dưới dạng (*) với hai số dương 2x và xy ta được :
 2
 2x xy 
 2x.xy 4
 2 
Dấu “ = “ xảy ra khi : 2x = xy = 4 : 2 tức là khi x = 1, y = 2. max A = 2 x = 2, y = 2.
 1 2 1998
21. Bất đẳng thức Cauchy viết lại dưới dạng : . Áp dụng ta cĩ S > 2. .
 ab a b 1999
22. Chứng minh như bài 1.
 x y x2 y 2 2xy (x y) 2 x y
23. a) 2 0 . Vậy 2
 y x xy xy y x
 x2 y 2 x y x 2 y 2 x y x y 
b) Ta cĩ : A 2 2 2 2 2 . Theo câu a :
 y x y x y x y x y x 
 2 2
 x2 y 2 x y x y 
A 2 2 2 2 1 1 0
 y x y x y x 
 x4 y 4 x 2 y 2 x y
c) Từ câu b suy ra : 4 4 2 2 0 . Vì 2 (câu a). Do đĩ :
 y x y x y x
 x4 y 4 x 2 y 2 x y 
 4 4 2 2 2 .
 y x y x y x 
24. a) Giả sử 1 2 = m (m : số hữu tỉ) 2 = m2 – 1 2 là số hữu tỉ (vơ lí)
 3 3
b) Giả sử m + = a (a : số hữu tỉ) = a – m 3 = n(a – m) 3 là số hữu tỉ, vơ
 n n
lí.
25. Cĩ, chẳng hạn 2 (5 2) 5
 x y x2 y 2 x2 y 2
26. Đặt a 2 a 2 . Dễ dàng chứng minh 2 nên a2 ≥ 4, do đĩ
 y x y2 x 2 y2 x 2
| a | ≥ 2 (1). Bất đẳng thức phải chứng minh tương đương với : a2 – 2 + 4 ≥ 3a
 a2 – 3a + 2 ≥ 0 (a – 1)(a – 2) ≥0 (2)
Từ (1) suy ra a ≥ 2 hoặc a ≤ -2. Nếu a ≥ 2 thì (2) đúng. Nếu a ≤ -2 thì (2) cũng đúng. Bài tốn
được chứng minh.
27. Bất đẳng thức phải chứng minh tương đương với :
 xz4 2 yx 4 2 zx 4 2 xz 2 yx 2 zyxyz 2 
 0 .
 x2 y 2 z 2
LÊ TRỌNG CHÂU – PHỊNG GD&ĐT LỘC HÀ – ST> Page 208 CÁC CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU
 x y z x y y z y x y
Cách 2 : Ta cĩ : . Ta đã cĩ 2 (do x, y > 0) nên để
 y z x y x z x x y x
 x y z y z y
chứng minh 3 ta chỉ cần chứng minh : 1 (1)
 y z x z x x
 (1) xy + z2 – yz ≥ xz (nhân hai vế với số dương xz)
 xy + z2 – yz – xz ≥ 0 y(x – z) – z(x – z) ≥ 0 (x – z)(y – z) ≥ 0 (2)
(2) đúng với giả thiết rằng z là số nhỏ nhất trong 3 số x, y, z, do đĩ (1) đúng. Từ đĩ tìm được giá trị
 x y z
nhỏ nhất của .
 y z x
34. Ta cĩ x + y = 4 x2 + 2xy + y2 = 16. Ta lại cĩ (x – y)2 ≥ 0 x2 – 2xy + y2 ≥ 0. Từ đĩ suy ra
2(x2 + y2) ≥ 16 x2 + y2 ≥ 8. min A = 8 khi và chỉ khi x = y = 2.
35. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số khơng âm :
 1 = x + y + z ≥ 3. 3 xyz (1)
 2 = (x + y) + (y + z) + (z + x) ≥ 3. 3 (x y)(y z)(z x) (2)
 3
 3 2 
Nhân từng vế của (1) với (2) (do hai vế đều khơng âm) : 2 ≥ 9. A A ≤ 
 9 
 3
 2 1
 max A = khi và chỉ khi x = y = z = .
 9 3
36. a) Cĩ thể. b, c) Khơng thể.
37. Hiệu của vế trái và vế phải bằng (a – b)2(a + b).
 1 4
38. Áp dụng bất đẳng thức với x, y > 0 :
 xy (x y)2
 a c a2 ad bc c 2 4(a 2 ad bc c 2 )
 (1)
 bc da (bc)(ad) (a bcd) 2
 b d 4(b2 ab cd d 2 )
 Tương tự (2)
 c d a b (a b c d)2
 a b c d 4(a2 b 2 c 2 d 2 ad bc ab cd)
 Cộng (1) với (2) = 4B
 bccddaab (abcd) 2
 1
Cần chứng minh B ≥ , bất đẳng thức này tương đương với :
 2
 2B ≥ 1 2(a2 + b2 + c2 + d2 + ad + bc + ab + cd) ≥ (a + b + c + d)2
 a2 + b2 + c2 + d2 – 2ac – 2bd ≥ 0 (a – c)2 + (b – d)2 ≥ 0 : đúng.
39. - Nếu 0 ≤ x - x < ½ thì 0 ≤ 2x - 2x < 1 nên 2x = 2x.
- Nếu ½ ≤ x - x < 1 thì 1 ≤ 2x - 2x < 2 0 ≤ 2x – (2x + 1) < 1 2x = 2x + 1
40. Ta sẽ chứng minh tồn tại các số tự nhiên m, p sao cho :
 96000...00 ≤ a + 15p < 97000...00
 m chữ số 0 m chữ số 0
 a 15p
Tức là 96 ≤ < 97 (1). Gọi a + 15 là số cĩ k chữ số : 10k – 1 ≤ a + 15 < 10k
 10m 10 m
 1 a 15 a 15p 15
 1 (2). Đặt x . Theo (2) ta cĩ x1 < 1 và < 1.
 10 10k 10 k n 10k 10 k 10k
LÊ TRỌNG CHÂU – PHỊNG GD&ĐT LỘC HÀ – ST> Page 210 CÁC CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU
c) Phương trình cĩ dạng : A B 0 .
d) Đưa phương trình về dạng : AB .
e) Đưa phương trình về dạng : | A | + | B | = 0
g, h, i) Phương trình vơ nghiệm.
k) Đặt x 1 = y ≥ 0, đưa phương trình về dạng : | y – 2 | + | y – 3 | = 1 . Xét dấu vế trái.
l) Đặt : 8x1 u 0;3x5 v 0;7x 4 z 0; 2x2 t 0 .
 u v z t
 . T à : 8x 1 7x 4 x 3 .
Ta được hệ : 2 2 2 2 ừ đĩ suy ra : u = z tức l
 u v z t
55. Cách 1 : Xét x2 y 2 22(x y) x 2 y 2 22(x y) 22xy (x y 2) 2 0 .
 2 2 2
 x2 y 2 x y 
Cách 2 : Biến đổi tương đương 2 2 8 (x2 + y2)2 – 8(x – y)2 ≥ 0
 x y x y 2
 (x2 + y2)2 – 8(x2 + y2 – 2) ≥ 0 (x2 + y2)2 – 8(x2 + y2) + 16 ≥ 0 (x2 + y2 – 4)2 ≥ 0.
Cách 3 : Sử dụng bất đẳng thức Cauchy :
x2 y 2 x 2 y 2 2xy 2xy (x y) 2 2.1 2 1
 (x y) 2 (x y). (x > y).
 x y x y x y x y x y
 6 2 6 2 6 2 6 2
Dấu đẳng thức xảy ra khi x ; y hoặc x ; y 
 2 2 2 2
 2
 111 111 111 1112(cba 
62. 2 2 22 2 2 2 =
 abc a b c abbcca a b c abc
 1 1 1
 = . Suy ra điều phải chứng minh.
 a2 b 2 c 2
 2 x 6
 x 16x 60 0 (x 6)(x 10) 0 
63. Điều kiện : x 10 x 10 .
 x 6 0 x 6 
 x 6
Bình phương hai vế : x2 – 16x + 60 6.
Nghiệm của bất phương trình đã cho : x ≥ 10.
64. Điều kiện x2 ≥ 3. Chuyển vế : x2 3 ≤ x2 – 3 (1)
 x 3
 x2 3 0 
Đặt thừa chung : x2 3 .(1 - x2 3 ) ≤ 0 x 2
 2 
 1 x 3 0 
 x 2
Vậy nghiệm của bất phương trình : x = 3 ; x ≥ 2 ; x ≤ -2.
65. Ta cĩ x2(x2 + 2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = 1 (x2 + y2)2 – 4(x2 + y2) + 3 = - x2 ≤ 0.
Do đĩ : A2 – 4A + 3 ≤ 0 (A – 1)(A – 3) ≤ 0 1 ≤ A ≤ 3.
min A = 1 x = 0, khi đĩ y = ± 1. max A = 3 x = 0, khi đĩ y = ± 3 .
66. a) ½ ≤ x ≠ 1.
LÊ TRỌNG CHÂU – PHỊNG GD&ĐT LỘC HÀ – ST> Page 212 CÁC CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU
 2 2
 33 222 278482 1582 225128 . Vậy a > b là đúng.
b) Bình phương hai vế lên rồi so sánh.
76. Cách 1 : Đặt A = 4 7 4 7 , rõ ràng A > 0 và A2 = 2 A = 2
Cách 2 : Đặt B = 4 7 4 7 2 2.B 827 82720 B =
0.
 2 3 2.3 2.4 2 4 2 3 4 2 2 3 4 
77. Q 1 2 .
 2 3 4 2 3 4
78. Viết 40 2 2.5 ; 56 2 2.7 ; 140 2 5.7 . Vậy P = 2 5 7 .
79. Từ giả thiết ta cĩ : x 1 y2 1 y 1 x 2 . Bình phương hai vế của đẳng thức này ta được :
y 1 x 2 . Từ đĩ : x2 + y2 = 1.
80. Xét A2 để suy ra : 2 ≤ A2 ≤ 4. Vậy : min A = 2 x = ± 1 ; max A = 2 x = 0.
 2 2 2
81. Ta cĩ : M ab ab ab 2a2b2 .
 a b 1
 max M 2 a b .
 a b 1 2
82. Xét tổng của hai số :
 2a b 2 cd 2c d 2 ab a b 2 ab c d 2 cd a c =
 2 2
= a c a b c d a c 0.
83. N 46834218 1283446422 =
 2 2
= 232 222322 232 2 23 22 .
 2 2 2
84. Từ x y z xy yz zx x y y z z x 0 .
Vậy x = y = z.
85. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 1 và ai ( i = 1, 2, 3,  n ).
86. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với hai số a + b ≥ 0 và 2 ab ≥ 0, ta cĩ :
 2
 a b 2ab 22(a b)abhay a b 22(a b)ab .
 Dấu “ = “ xảy ra khi a = b.
 2 2
87. Giả sử a ≥ b ≥ c > 0. Ta cĩ b + c > a nên b + c + 2 bc > a hay b c a 
Do đĩ : b c a . Vậy ba đoạn thẳng a , b , c lập được thành một tam giác.
 § 4. LIÊN HỆ GIỮA PHÉP CHIA VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG
88. a) Điều kiện : ab ≥ 0 ; b ≠ 0. Xét hai trường hợp :
 b.( a b) a a b a
* Trường hợp 1 : a ≥ 0 ; b > 0 : A 1.
 b. bb b b
 ab b2 a a a a
* Trường hợp 2 : a ≤ 0 ; b < 0 : A 1 1 2 .
 b2 b b b b
LÊ TRỌNG CHÂU – PHỊNG GD&ĐT LỘC HÀ – ST> Page 214 CÁC CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU
 2 2
Xét trên hai khoảng 1 2. Kết quả : A và A=
 1 x x-1
105. Cách 1 : Tính A 2 . Cách 2 : Tính A2
Cách 3 : Đặt 2x 1 = y ≥ 0, ta cĩ : 2x – 1 = y2.
 2x22x12x22x1 y2 1 2y y 2 1 2y y1 y 1
A 
 2 2 2 2 2 2
 1
Với y ≥ 1 (tức là x ≥ 1), A (y 1 y 1) 2 .
 2
 1 1 2y
Với 0 ≤ y < 1 (tức là ≤ x < 1), A (y1y1) y2 4x2 .
 2 2 2
108. Nếu 2 ≤ x ≤ 4 thì A = 2 2 . Nếu x ≥ 4 thì A = 2 x 2 .
109. Biến đổi : x y 2 2 x y . Bình phương hai vế rồi rút gọn, ta được :
 2(x y 2) xy . Lại bình phương hai vế rồi rút gọn : (2 – y)(x – 2) = 0.
 Đáp : x = 2 , y ≥ 0 , x ≥ 0 , y = 2.
110. Biến đổi tương đương :
(1) a2 + b2 + c2 + d2 + 2 a2 b 2 c 2 d 2 ≥ a2 + c2 + 2ac + b2 + d2 + 2bd
 a2 b 2 c 2 d 2 ≥ ac + bd (2)
* Nếu ac + bd < 0, (2) được chứng minh.
* Nếu ac + bd ≥ 0, (2) tương đương với :
(a2 + b2)(c2 + d2) ≥ a2c2 + b2d2 + 2abcd a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2 ≥ a2c2 + b2d2 + 2abcd
 (ad – bc)2 ≥ 0 (3). Bất đẳng thức (3) đúng, vậy bất đẳng thức (1) được chứng minh.
111. Cách 1 : Theo bất đẳng thức Cauchy :
 a2 b c a 2 b c a a 2 b c
 2 . 2. a a .
 b c 4 b c 4 2 b c 4
 b2 a c c 2 a b
 Tương tự : b ; c .
 a c 4 a b 4
 a2 b 2 c 2 a b c a b c
Cộng từng vế 3 bất đẳng thức : a b c 
 b c c a a b 2 2
Cách 2 : Theo BĐT Bunhiacơpxki : (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) ≥ (ax + by + cz)2. Ta cĩ :
 2 2 2
 a b c 2 2 2
 X b c c a a b 
 ≥
 b c c a a b 
 2
 a b c 
 ≥ . b c . c a . a b 
 b c c a a b 
 2 2 2 2 2 2
 a b c 2 a b c a b c
 .2(a b c) (a b c) .
 bccaab bccaab2 
 x y
112. a) Ta nhìn tổng a + 1 dưới dạng một tích 1.(a + 1) và áp dụng bđt Cauchy : xy 
 2
 (a 1) 1 a
 a 1 1.(a 1) 1
 2 2
LÊ TRỌNG CHÂU – PHỊNG GD&ĐT LỘC HÀ – ST> Page 216 CÁC CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU
 2
A2 = 2. 2x 3. 3y rồi áp dụng (1) ta cĩ :
 2 2 2 2
A2 2 3 x2 y3 (23)(2x 2 3y)5.525 2 
 x y
Do A2 ≤ 25 nên -5 ≤ A ≤ 5. min A = -5 x y 1
 2x 3y 5
 x y
 max A = 5 x y 1
 2x 3y 5
117. Điều kiện x ≤ 2. Đặt 2 x = y ≥ 0, ta cĩ : y2 = 2 – x.
 2
 2 1 9 9 9 1 7
 a2yy y maxA= y x
 2 4 4 4 2 4
118. Điều kiện x ≥ 1 ; x ≥ 1/5 ; x ≥ 2/3 x ≥ 1.
Chuyển vế, rồi bình phương hai vế : x – 1 = 5x – 1 + 3x – 2 + 2 15x2 13x 2 (3)
Rút gọn : 2 – 7x = 2 15x2 13x 2 . Cần cĩ thêm điều kiện x ≤ 2/7.
Bình phương hai vế : 4 – 28x + 49x2 = 4(15x2 – 13x + 2) 11x2 – 24x + 4 = 0
 (11x – 2)(x – 2) = 0 x1 = 2/11 ; x2 = 2.
Cả hai nghiệm đều khơng thỏa mãn điều kiện. Vậy phương trình đã cho vơ nghiệm.
119. Điều kiện x ≥ 1. Phương trình biến đổi thành :
 x11 x112 x1 x111 
* Nếu x > 2 thì : x1 x111 x11x2 , khơng thuộc khoảng đang xét.
* Nếu 1 ≤ x ≤ 2 thì : x 1 1 x 1 1 2 . Vơ số nghiệm 1 ≤ x ≤ 2
 Kết luận : 1 ≤ x ≤ 2.
120. Điều kiện : x2 + 7x + 7 ≥ 0. Đặt x2 7x 7 = y ≥ 0 x2 + 7x + 7 = y2.
Phương trình đã cho trở thành : 3y2 – 3 + 2y = 2 3y2 + 2y – 5 = 0 (y – 1)(3y + 5) = 0
 y = - 5/3 (loại) ; y = 1. Với y = 1 ta cĩ x2 7x 7 = 1 x2 + 7x + 6 = 0 
 (x + 1)(x + 6) = 0. Các giá trị x = - 1, x = - 6 thỏa mãn x2 + 7x + 7 ≥ 0 là nghiệm của (1).
121. Vế trái : 3(x1) 2 4 5(x1) 2 9 4 9 5.
Vế phải : 4 – 2x – x2 = 5 – (x + 1)2 ≤ 5. Vậy hai vế đều bằng 5, khi đĩ x = - 1. Với giá trị này cả hai
bất đẳng thức này đều trở thành đẳng thức. Kết luận : x = - 1
 5 a2
122. a) Giả sử 3 2 = a (a : hữu tỉ) 5 - 2 6 = a2 6 . Vế phải là số hữu tỉ,
 2
vế trái là số vơ tỉ. Vơ lí. Vậy 3 2 là số vơ tỉ.
b) Giải tương tự câu a.
123. Đặt x 2 = a, 4 x = b, ta cĩ a2 + b = 2. Sẽ chứng minh a + b ≤ 2. Cộng từng vế bất
 a2 1 b 2 1
đẳng thức : a ; b . A
 2 2
124. Đặt các đoạn thẳng BH = a, HC = c trên một đường thẳng. b
Kẻ HA  BC với AH = b. Dễ thấy AB.AC ≥ 2SABC = BC.AH.
 a c
125. Bình phương hai vế rồi rút gọn, ta được bất đẳng thức tương B C
đương : (ad – bc)2 ≥ 0. Chú ý : Cũng cĩ thể chứng minh bằng bất đẳng thức Bunhiacơpxki.
126. Giả sử a ≥ b ≥ c > 0. Theo đề bài : b + c > a. Suy ra : b + c + 2 bc > a 
 2 2
 b c a b c a
LÊ TRỌNG CHÂU – PHỊNG GD&ĐT LỘC HÀ – ST> Page 218 CÁC CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU
 2
Xét : A2 (x 2)(6 x) (x 1)(3 x) . Hiển nhiên A2 ≥ 0 nhưng dấu “ = ” khơng xảy ra
(vì A > 0). Ta biến đổi A2 dưới dạng khác :
 A2 = (x + 2)(6 – x) + (x + 1)(3 – x) - 2 (x 2)(6 x)(x 1)(3 x) =
 = (x + 1)(6 – x) + (6 – x) + (x + 2)(3 – x) – (3 – x) - 2 (x 2)(6 x)(x 1)(3 x)
 = (x + 1)(6 – x) + (x + 2)(3 – x) - 2 (x 2)(6 x)(x 1)(3 x) + 3
 2
 = (x 1)(6 x) (x 2)(3 x) 3 .
 A2 ≥ 3. Do A > 0 nên min A = 3 với x = 0.
134. a) Điều kiện : x2 ≤ 5.
* Tìm giá trị lớn nhất : Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacơpxki :
 A2 = (2x + 1. 5 x2 )2 ≤ (22 + 11)(x2 + 5 – x2) = 25 A2 ≤ 25.
 x 0
 x 2 
 5 x 
 A2 25 2 x 2 4(5 x 2 ) x 2 .
 2 2
 x 5 x 5
 Với x = 2 thì A = 5. Vậy max A = 5 với x = 2.
* Tìm giá trị nhỏ nhất : Chú ý rằng tuy từ A2 ≤ 25, ta cĩ – 5 ≤ x ≤ 5, nhưng khơng xảy ra
A2 = - 5. Do tập xác định của A, ta cĩ x2 ≤ 5 - 5 ≤ x ≤ 5 . Do đĩ : 2x ≥ - 2 5 và
 5 x2 ≥ 0. Suy ra :
 A = 2x + 5 x2 ≥ - 2 5 . Min A = - 2 5 với x = - 5
b) Xét biểu thức phụ | A | và áp dụng các bất đẳng thức Bunhiacơpxki và Cauchy :
 A x 99. 99 1. 101 x2 x (99 1)(99 101 x 2 ) x .10. 200 x 2 
 x2 200 x 2
 10. 1000
 2
 x2 101
 99 99
 A 1000 x 10. Do đĩ : - 1000 < A < 1000.
 1 101 x2
 2 2
 x 200 x
 min A = - 1000 với x = - 10 ; max A = 1000 với x = 10.
 a b ay bx
135. Cách 1 : A = x + y = 1.(x + y) = x y a b .
 x y x y
 ay bx ay bx
Theo bất đẳng thức Cauchy với 2 số dương : 2 . 2 ab .
 x y x y
 2
Do đĩ A a b 2 ab a b .
LÊ TRỌNG CHÂU – PHỊNG GD&ĐT LỘC HÀ – ST> Page 220 CÁC CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU
 a b c d
 b c .
 2
 b c bc c c abcdcdcd 
 A 
 cdabcd cdab 2(cd) cdab 
Đặt a + b = x ; c + d = y với x ≥ y > 0, ta cĩ :
 xyyyx1 yxy1 xy1 1
 A 1 2. . 2
 2y yx2y2 x 2yx 2 2yx2 2
 1
 minA 2 d0,x y2,bcad ; chẳng hạn khi
 2
 a 2 1,b 2 1,c 2,d 0
142. a) (x 3)2 ( x 3) 2 0 . Đáp số : x = 3.
b) Bình phương hai vế, đưa về : (x2 + 8)(x2 – 8x + 8) = 0. Đáp số : x = 4 + 2 2 .
c) Đáp số : x = 20.
d) x 1 2 x 1. Vế phải lớn hơn vế trái. Vơ nghiệm.
e) Chuyển vế : x 2 x 1 1 x 1 . Bình phương hai vế. Đáp số : x = 1.
 1
g) Bình phương hai vế. Đáp số : ≤ x ≤ 1
 2
h) Đặt x 2 = y. Đưa về dạng y 2 y 3 = 1. Chú ý đến bất đẳng thức :
 y 2 3 y y 2 3 y 1. Tìm được 2 ≤ y ≤ 3. Đáp số : 6 ≤ x ≤ 11.
 16
i) Chuyển vế : x 1 x 1 x , rồi bình phương hai vế. Đáp : x = 0 (chú ý loại x = )
 25
 16
k) Đáp số : .
 25
l) Điều kiện : x ≥ 1 hoặc x = - 1. Bình phương hai vế rồi rút gọn :
 2 2(x 1)2 (x 3)(x 1) x 2 1.
Bình phương hai vế : 8(x + 1)2(x + 3)(x – 1) = (x + 1)2(x – 1)2 (x + 1)2(x – 1)(7x + 25) = 0
 25
 x loại. Nghiệm là : x = ± 1.
 7
m) Vế trái lớn hơn x, vế phải khơng lớn hơn x. Phương trình vơ nghiệm.
n) Điều kiện : x ≥ - 1. Bình phương hai vế, xuất hiện điều kiện x ≤ - 1. Nghiệm là : x = - 1.
o) Do x ≥ 1 nên vế trái lớn hơn hoặc bằng 2, vế phải nhỏ hơn hoặc bằng 2. Suy ra hai vế bằng 2, khi
đĩ x = 1, thỏa mãn phương trình.
p) Đặt 2x3 x2 y;2x2 x2 z (1). Ta cĩ :
 y2 z 2 12x2;yz12x2 . Suy ra y – z = 1.
Từ đĩ z x 2 (2). Từ (1) và (2) tính được x. Đáp số : x = 2 (chú ý loại x = - 1).
q) Đặt 2x2 – 9x + 4 = a ≥ 0 ; 2x – 1 ≥ b ≥ 0. Phương trình là : a 3 b a 15b . Bình phương
 1
hai vế rồi rút gọn ta được : b = 0 hoặc b = a. Đáp số : ; 5
 2
 § 5. BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN CĂN THỨC BẬC HAI
LÊ TRỌNG CHÂU – PHỊNG GD&ĐT LỘC HÀ – ST> Page 222 CÁC CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU
 2x 1 x
 2x 1 x (1)
 B 2 . 2 2. B 2 2 1 x x
 1 x x
 0 x 1 (2)
Giải (1) : 2x2 = (1 – x)2  x 2  =  1 – x . Do 0 < x < 1 nên x 2 = 1 – x 
 1
 x = 2 1.
 2 1
 Như vậy min B = 2 2 x = 2 - 1.
 2 1 2x 1x 22x11x 
Bây giờ ta xét hiệu : A B 2 1 3
 1 x x 1 x x 1 x x
 Do đĩ min A = 2 2 + 3 khi và chỉ khi x = 2 - 1.
172. a) Điều kiện : x ≥ 1 , y ≥ 2. Bất đẳng thức Cauchy cho phép làm giảm một tổng :
a b
 ab . Ở đây ta muốn làm tăng một tổng. Ta dùng bất đẳng thức : a b 2(a2 b 2 )
 2
 A x1 y2 2(x1y3) 2
 x 1 y 2 x 1,5
 max A 2 
 x y 4 y 2,5
Cách khác : Xét A2 rồi dùng bất đẳng thức Cauchy.
 a b
b) Điều kiện : x ≥ 1 , y ≥ 2. Bất đẳng thức Cauchy cho phép làm trội một tích : ab 
 2
 2(y 2)
Ta xem các biểu thức x 1 , y 2 là các tích : x 1 1.(x 1) , y 2 
 2
 x 1 1.(x 1) 1 x 1 1
Theo bất đẳng thức Cauchy : 
 x x 2x 2
 y 2 2.(y 2) 2 y 2 1 2
 yy 2 2y 2 2 2 4
 1 2 2 2 x 1 1 x 2
 max B 
 2 4 4 y 2 2 y 4
 1 1
173. a , b . Ta thấy 1997 1996 1998 1997
 1997 1996 1998 1997
Nên a < b.
 1
174. a) min A = 5 - 2 6 với x = 0. max A = với x = ± 6 .
 5
b) min B = 0 với x = 1 ± 5 . max B = 5 với x = 1
 x2 (1 x 2 ) 1
175. Xét – 1 ≤ x ≤ 0 thì A ≤ 0. Xét 0 ≤ x ≤ 1 thì A x2 (1 x 2 ) .
 2 2
 1 x2 1 x 2 2
 max A x 
 2 x 0 2
176. A =  x – y  ≥ 0, do đĩ A lớn nhất khi và chi khi A2 lớn nhất. Theo bđt Bunhiacơpxki :
 2
 2 2 1 1 2 2 5
 A (xy) 1.x .2y 1 (x 4y) 
 2 4 4
LÊ TRỌNG CHÂU – PHỊNG GD&ĐT LỘC HÀ – ST> Page 224 CÁC CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU
 1 
= 2 1 2 (đpcm).
 n 1 
 1 2
183. Dùng bất đẳng thức Cauchy (a, b > 0 ; a ≠ 0).
 ab a b
184. Đặt x – y = a , x + y = b (1) thì a, b Q .
a) Nếu b = 0 thì x = y = 0, do đĩ x , y Q .
 x y a a
b) Nếu b ≠ 0 thì x y Q (2).
 x y b b
 1 a 1 a 
Từ (1) và (2) : x b Q ; y b Q .
 2 b 2 b 
190. Nhận xét : x2 a 2 x x 2 a 2 x a 2 . Do đĩ :
 2 2 2 2
 5a 2 5 x a x x a x 
 2xxa 2 2 (1)2xxa 2 2 
 x2 a 2 x 2 a 2
Do a ≠ 0 nên : x2 a 2 x x 2 x x x 0 . Suy ra : x2 a 2 x 0 , x.
 x 0
 2 2 2 2 2 2 
Vì vậy : (1) 2xa 5xa x 5x3xa x 0
 2 2 2
 25x 9x 9a
 x 0
 3
 3 x a .
 0 x a 4
 4
 1 2a 1
198. c) Trước hết tính x theo a được x . Sau đĩ tính 1 x2 được .
 2 a(1 a) 2 a(1 a)
 Đáp số : B = 1.
d) Ta cĩ a2 + 1 = a2 + ab + bc + ca = (a + b)(a + c). Tương tự :
 b2 + 1 = (b + a)(b + c) ; c2 + 1 = (c + a)(c + b). Đáp số : M = 0.
 2x 4
199. Gọi vế trái là A > 0. Ta cĩ A2 . Suy ra điều phải chứng minh.
 x
 1 1 3
200. Ta cĩ : a + b = - 1 , ab = - nên : a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab = 1 + .
 4 2 2
 9 1 17 3 7
 a4 + b4 = (a2 + b2)2 – 2a2b2 = ; a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) = - 1 - 
 4 9 8 4 4
 7 7 3 3 4 4 3 3 7 17 1 239
Do đĩ : a + b = (a + b )(a + b ) – a b (a + b) = . 1 .
 4 8 64 64
201. a) a2 ( 2 1) 2 3 2 2 9 8 .
 a3 (21) 3 226321527 50 49 .
b) Theo khai triển Newton : (1 - 2 )n = A - B 2 ; (1 + 2 )n = A + B 2 với A, B N
Suy ra : A2 – 2B2 = (A + B 2 )(A - B 2 ) = [(1 + 2 )(1 - 2 )]n = (- 1)n.
Nếu n chẵn thì A2 – 2b2 = 1 (1). Nếu n lẻ thì A2 – 2B2 = - 1 (2).
Bây giờ ta xét an. Cĩ hai trường hợp :
LÊ TRỌNG CHÂU – PHỊNG GD&ĐT LỘC HÀ – ST> Page 226